Considere uma partícula de massa m. Determine sua função de onda unidimensional, sabendo que se encontra em uma região com energia potencial nula. Sabe-se também que φ(0) = a e φ(L) = 0.

Resumo da Resposta

A função de onda unidimensional é determinada pela solução da equação de Schrödinger para uma partícula livre (V=0), ajustada às condições de contorno \varphi(0) = a e \varphi(L) = 0. O resultado final é uma função senoidal modificada dada por \varphi(x) = a \frac{\sin(k(L-x))}{\sin(kL)}.

Fundamentação Teórica

Para resolver este problema de Mecânica Quântica, precisamos considerar a Equação de Schrödinger Independente do Tempo. Em uma região com energia potencial nula (V=0), a equação descreve o comportamento de uma partícula livre.

A equação diferencial é:
-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\varphi(x)}{dx^2} = E\varphi(x)

Reorganizando os termos, definimos o número de onda k como:
k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}

A equação torna-se:
\frac{d^2\varphi(x)}{dx^2} + k^2\varphi(x) = 0

A solução geral desta equação diferencial linear é uma combinação linear de funções seno e cosseno:
\varphi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)
Onde A e B são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.

Aplicação das Condições de Contorno

Utilizamos os valores fornecidos no enunciado para encontrar as constantes A e B.

• Condição 1: $\varphi(0) = a$
  Substituindo x=0 na solução geral:
  \varphi(0) = A \sin(0) + B \cos(0) = 0 + B(1) = B
  Portanto, concluímos que $B = a$.
• Condição 2: $\varphi(L) = 0$
  Substituindo x=L na equação com B=a:
  \varphi(L) = A \sin(kL) + a \cos(kL) = 0
  Isolando A:
  A = -a \frac{\cos(kL)}{\sin(kL)} = -a \cot(kL)

Função de Onda Final

Substituindo os valores de A e B na solução geral, temos:
\varphi(x) = -a \cot(kL) \sin(kx) + a \cos(kx)

Podemos simplificar essa expressão usando identidades trigonométricas para obter uma forma mais compacta e intuitiva:
\varphi(x) = a \left[ \cos(kx) - \frac{\cos(kL)}{\sin(kL)}\sin(kx) \right]
\varphi(x) = a \frac{\sin(kL)\cos(kx) - \cos(kL)\sin(kx)}{\sin(kL)}

Aplicando a identidade \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta:
\varphi(x) = a \frac{\sin(k(L-x))}{\sin(kL)}

Esta é a função de onda que satisfaz a equação de movimento e as restrições impostas no intervalo [0, L].