Imagine que uma máquina industrial de corte utiliza uma base suspensa por molas e amortecedores para evitar a propagação de vibrações para o restante da estrutura da fábrica. Para simular seu comportamento, utilizamos um modelo físico bem conhecido: o sistema massa-mola com amortecimento. Essa máquina é submetida a uma força externa periódica, causada, por exemplo, por um motor rotativo que aplica uma força oscilatória sobre a estrutura, de modo que essa força pode ser modelada como 𝑓(𝑡) = 7,5𝑐𝑜𝑠(𝑡). Aqui, a força externa tem frequência constante (igual a 1 rad/s) e amplitude 7,5 N. A base da máquina é representada por uma massa 2,5 kg, que está conectada a uma mola de constante elástica 3,125 N/m e a um amortecedor com coeficiente de amortecimento de 2,5 Ns/m. Elabore a equação diferencial que modela esse sistema, e determine a equação do movimento considerando que a massa parte a de um ponto 2 metros abaixo da posição de equilíbrio com velocidade de 3 m/s; em seguida determine o valor numérico da posição para o instante de tempo 4.

Problema de Oscilação Forçada com Amortecimento

Este problema envolve um sistema massa-mola-amortecedor sujeito a uma força externa periódica, conhecido como oscilador harmônico forçado.

Dados do Sistema

Desenvolvimento Matemático

1. Equação Diferencial do Movimento

O modelo físico segue a segunda lei de Newton aplicada a oscilações amortecidas:

Substituindo os valores dados:

Dividindo toda a equação por 2,5 para normalizar:

2. Solução da Equação Homogênea

Para encontrar a resposta transitória, resolvemos:

A equação característica é:

Usando a fórmula quadrática:

Como temos raízes complexas conjugadas (\alpha \pm \beta i onde \alpha = -0,5 e \beta = 1), a solução homogênea é:

3. Solução Particular

Para o termo não-homogêneo $3\cos(t)$, assumimos:

Calculando derivadas:

• \dot{y}_p = -C\sin(t) + D\cos(t)
• \ddot{y}_p = -C\cos(t) - D\sin(t)

Substituindo na equação diferencial:

Agrupando termos em cos(t) e sin(t):

Sistema de equações:
\begin{cases} D + 0,25C = 3 \\ 0,25D - C = 0 \end{cases}

Da segunda equação: C = 0,25D

Substituindo na primeira:
D + 0,25(0,25D) = 3 \Rightarrow 1,0625D = 3 \Rightarrow D = \frac{48}{17} \approx 2,82353

Então: C = 0,25 \times \frac{48}{17} = \frac{12}{17} \approx 0,70588

Solução particular:
y_p(t) = \frac{12}{17}\cos(t) + \frac{48}{17}\sin(t)

4. Solução Geral com Condições Iniciais

Solução completa:
y(t) = e^{-0,5t}(A\cos(t) + B\sin(t)) + \frac{12}{17}\cos(t) + \frac{48}{17}\sin(t)

Aplicando condições iniciais:

Para y(0) = 2:
y(0) = A + \frac{12}{17} = 2 \Rightarrow A = 2 - \frac{12}{17} = \frac{22}{17} \approx 1,29412

Para y'(0) = 3:

Derivada:
\dot{y}(t) = -0,5e^{-0,5t}(A\cos(t) + B\sin(t)) + e^{-0,5t}(-A\sin(t) + B\cos(t)) - \frac{12}{17}\sin(t) + \frac{48}{17}\cos(t)

Em t = 0:
\dot{y}(0) = -0,5A + B + \frac{48}{17} = 3
-0,5\left(\frac{22}{17}\right) + B + \frac{48}{17} = 3
-\frac{11}{17} + B + \frac{48}{17} = 3
B + \frac{37}{17} = 3 \Rightarrow B = 3 - \frac{37}{17} = \frac{14}{17} \approx 0,82353

5. Equação Final do Movimento

Ou aproximadamente:

6. Cálculo da Posição em t = 4 segundos

Substituindo t = 4:

Valores numéricos:

• e^{-2} \approx 0,135335
• \cos(4) \approx -0,653644
• \sin(4) \approx -0,756802

Termo transiente (homogêneo):
e^{-2}\left(\frac{22}{17} \times -0,653644 + \frac{14}{17} \times -0,756802\right)
= 0,135335 \times (-0,845787 - 0,623521)
= 0,135335 \times (-1,469308) \approx -0,198848

Termo estacionário (particular):
\frac{12}{17} \times -0,653644 + \frac{48}{17} \times -0,756802
= -0,461391 - 2,137074 \approx -2,598465

Posição total:
y(4) \approx -0,198848 - 2,598465 = -2,797313

Análise

• Componente transitória (e^{-0,5t}): Decai exponencialmente devido ao amortecimento, desaparecendo após algum tempo
• Componente estacionária: Representa a resposta permanente à força externa oscilatória
• O sinal negativo indica que em t=4s, a base está acima da posição de equilíbrio (considerando positivo para baixo)
• O amortecimento garante que as vibrações não cresçam indefinidamente

Resposta final:

-2,79731