Problema de Viscosidade entre Placas Paralelas
Dados do Problema
| Grandeza | Valor | Unidade |
|---|
| Área das placas (A) | 5 | m² |
| Força placa superior (F₁) | 0,15 | N |
| Velocidade placa superior (v₁) | 0,5 | m/s (direita) |
| Força placa inferior (F₂) | 0,051 | N |
| Velocidade placa inferior (v₂) | 0,2 | m/s (esquerda) |
| Distância entre placas (h) | 10 | mm = 0,01 m |
## Desenvolvimento Teórico
Lei da Viscosidade de Newton
O cisalhamento viscoso em um fluido é descrito por:
\tau = \mu \cdot \frac{dv}{dy}
Onde:
- \tau = tensão de cisalhamento (Pa)
- \mu = viscosidade dinâmica (Pa·s)
- dv/dy = gradiente de velocidade (s⁻¹)
Perfil de Velocidade Linear
Para escoamento laminar entre placas paralelas, o perfil de velocidade é linear:
v(y) = v_1 + \frac{(v_2 - v_1)}{h} \cdot y
## Análise Passo a Passo
1. Cálculo da Tensão de Cisalhamento
Usando os dados da placa superior:
\tau = \frac{F_1}{A} = \frac{0,15}{5} = 0,03 \text{ Pa}
2. Cálculo da Viscosidade Dinâmica
Como as placas se movem em sentidos opostos, a diferença total de velocidade é:
\Delta v = v_1 - (-v_2) = 0,5 + 0,2 = 0,7 \text{ m/s}
Aplicando a lei da viscosidade:
\mu = \frac{\tau \cdot h}{\Delta v} = \frac{0,03 \times 0,01}{0,7} = \frac{0,0003}{0,7}
\mu \approx 4,29 \times 10^{-4} \text{ Pa·s}
3. Posição onde a Velocidade é Nula
No ponto onde v(y) = 0:
0 = v_1 + \frac{(v_2 - v_1)}{h} \cdot y
Considerando coordenada y a partir da placa superior:
0 = 0,5 + \frac{(-0,2 - 0,5)}{0,01} \cdot y
0 = 0,5 - \frac{0,7}{0,01} \cdot y
0,7y = 0,005
y = \frac{0,005}{0,7} \approx 0,00714 \text{ m} = 7,14 \text{ mm}
Isso significa que o ponto de velocidade nula está a 7,14 mm abaixo da placa superior.
## Resumo dos Resultados
| Grandeza Calculada | Resultado |
|---|
| Viscosidade (\mu) | $4,29 \times 10^{-4}$ Pa·s |
| Posição velocidade nula | 7,14 mm da placa superior |
Conclusão
A viscosidade do tolueno foi calculada aproximadamente como 4,29 × 10⁻⁴ Pa·s, valor consistente com fluidos pouco viscosos. O ponto de velocidade nula (ponto de estagnação) está localizado mais próximo da placa superior porque esta se move mais rápido, exigindo menos distância para compensar sua velocidade maior.
Este tipo de problema é clássico na Mecânica dos Fluidos e ilustra como forças aplicadas às fronteiras determinam o comportamento interno do fluido através da viscosidade.