Há 300 alunos em uma classe do terceiro ano do Ensino Médio. Dentre eles, 120 têm pelo menos uma irmã, 100 têm pelo menos um irmão. Dentre estes alunos, 40 têm pelo menos uma irmã e um irmão. Considere que A é o evento em que um aluno tem uma irmã e que B é o evento em que o aluno tem um irmão. Com base nessas informações, responda às seguintes perguntas: Quanto é P(A), a probabilidade de o aluno ter uma irmã?

Resolução Didática da Questão

Para resolver este problema de probabilidade, precisamos traduzir as informações textuais em fórmulas matemáticas e calcular os valores solicitados passo a passo.

1. Identificação dos Dados

Primeiro, organizamos as informações fornecidas no enunciado:

• Total de alunos (Espaço Amostral): N = 300
• Alunos com irmã (Evento A): n(A) = 120
• Alunos com irmão (Evento B): n(B) = 100
• Alunos com irmã e irmão (Intersecção A \cap B): n(A \cap B) = 40

2. Cálculo das Probabilidades Individuais

Calculamos a probabilidade de cada evento ocorrer isoladamente dividindo o número de casos favoráveis pelo total de alunos.

• Probabilidade de ter irmã (P(A)):
  P(A) = \frac{120}{300} = \frac{12}{30} = 0,4
• Probabilidade de ter irmão (P(B)):
  P(B) = \frac{100}{300} = \frac{1}{3} \approx 0,33
• Probabilidade de ter irmã E irmão (P(A \text{ e } B)):
  P(A \cap B) = \frac{40}{300} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} \approx 0,13

3. Cálculo da Probabilidade Condicional P(A | B)

A fórmula da probabilidade condicional de A dado B é:
P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Substituindo os valores calculados:
P(A | B) = \frac{40/300}{100/300} = \frac{40}{100} = 0,4

4. Análise de Independência

Dois eventos são considerados independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro. Matematicamente, isso ocorre quando:
P(A | B) = P(A)
OU equivalentemente:
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Verificando nosso cálculo:

• Calculamos P(A) = 0,4
• Calculamos P(A | B) = 0,4

Como $P(A | B) = P(A)$, concluímos que a presença de um irmão não altera a chance de o aluno ter uma irmã. Portanto, os eventos são estatisticamente independentes.

Análise das Alternativas

Com base nas conclusões acima, analisamos as opções apresentadas na imagem:

• A) Sim, P(A | B) = P(A).
• Correto. Ambos os valores são iguais a $0,4$. Esta é a verificação numérica da independência.
• B) Não, P(A | B) \neq P(A).
• Incorreto. As probabilidades são iguais.
• C) Sim, os eventos A e B são independentes.
• Correto. Como visto no item 4, a igualdade das probabilidades define a independência dos eventos.
• D) Não, os eventos A e B não são independentes.
• Incorreto. Eles são independentes.

Alternativas A e C