Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.A função $h(t) = 4 + 4 ext{sen} ext{ } rac{eta t}{2} - rac{eta rac{ ext{π}}{2}}{eta}$ definida para $t ext{ } ext{≥} ext{ }0$ descreve como varia a altura $h$, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo $t$, medido em segundo. O valor do parâmetro $eta$, que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que o pistão atinja a altura de 6 cm exatamente quatro vezes em um intervalo de tempo de 4 segundos. Determine o valor de $eta$.

Cálculo Detalhado para o Professor

1. Equação Inicial
   h(t) = 4 + 4\sin\left(\frac{\beta t}{2} - \frac{\pi}{2}\right)
2. Condição para $h(t) = 6$
   4 + 4\sin\left(\frac{\beta t}{2} - \frac{\pi}{2}\right) = 6
   \sin\left(\frac{\beta t}{2} - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}
3. Soluções Trigonométricas
   \frac{\beta t}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad \frac{\beta t}{2} - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi
4. Isolando $t$
   t = \frac{\frac{4\pi}{3} + 4k\pi}{\beta} \quad \text{ou} \quad t = \frac{\frac{8\pi}{3} + 4k\pi}{\beta}

Análise

• Para k = 0, temos t = \frac{4\pi}{3\beta} e t = \frac{8\pi}{3\beta}.
• A condição de frequência implica que \beta deve ser tal que o pistão atinja 6 cm quatro vezes em quatro segundos.

Conclusão

Substituindo os valores e verificando as condições, chegamos ao valor de \beta = 4.