Uma equipe de pesquisa de mercado conduziu, durante vários meses, um levantamento para determinar a preferência dos consumidores em relação a duas marcas de tênis, marca 1 e marca 2. Com base no levantamento inicial, a equipe compilou a seguinte estatística: I. 70% dos usuários da marca 1, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 30% mudaram para a marca 2; II. 80% dos usuários da marca 2, em qualquer mês, continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 20% mudaram para a marca 1. Esses resultados podem ser expressos pela matriz P = (Pij) = (0,7 0,2; 0,3 0,8), em que i, j = 1, 2 representa as probabilidades mantidas constantes de um mês para o outro. Desse forma, obtém-se a fórmula de recorrência, Xk+1 = P * Xk, para k ≥ 0, em que Xk = (ak; bk) representa a distribuição, no mercado, ao final do mês k, dos usuários de cada tênis pesquisados; ak e bk representam os percentuais de usuários das marcas 1 e 2, respectivamente, no referido período. Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes.

Análise da Questão de Matrizes e Probabilidade

Esta questão envolve Processos Estocásticos, especificamente cadeias de Markov, utilizando álgebra linear para modelar a mudança de preferências de consumidores entre duas marcas ao longo do tempo.

1. Compreensão do Modelo

O sistema é descrito pela relação de recorrência X_k = P X_{k-1}, onde:

• X_k = \begin{pmatrix} a_k \\ b_k \end{pmatrix} é o vetor de distribuição no mês k.
• P = \begin{pmatrix} 0,7 & 0,2 \\ 0,3 & 0,8 \end{pmatrix} é a matriz de transição.

Isso significa que, para obter a distribuição do mês atual (X_k), multiplicamos a matriz de transição pelo vetor do mês anterior (X_{k-1}). Os elementos da matriz representam:

• $0,7$: % que mantém a marca 1.
• $0,3$: % que sai da marca 1 e vai para a marca 2 (linha inferior, coluna 1).
• $0,2$: % que sai da marca 2 e vai para a marca 1 (linha superior, coluna 2).
• $0,8$: % que mantém a marca 2.

Análise dos Itens

Item a) Progressão Geométrica

"A sequência b_1, b_2, b_3, b_4, b_5 representa uma progressão geométrica decrescente de razão 0,5."

Para verificar, calculamos os valores iniciais de b_k (percentual da marca 2), considerando o cenário inicial do enunciado (a_0 = 0,6, b_0 = 0,4):

• b_1 = 0,5

Calculando o próximo passo (X_2):
X_2 = \begin{pmatrix} 0,7 & 0,2 \\ 0,3 & 0,8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,35 + 0,10 \\ 0,15 + 0,40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,45 \\ 0,55 \end{pmatrix}

• b_2 = 0,55

Comparando os termos:

A sequência não é decrescente e a razão não é constante ($0,5 / 0,4 \neq 0,55 / 0,5$).
Resultado: Falso.

Item b) Estado de Equilíbrio

"Se X_k = \begin{pmatrix} a \\ \beta \end{pmatrix} tal que X_{k+1} = X_k, para algum k \geq 0, então a = 0,4 e \beta = 0,6."

Este item descreve o estado estacionário (equilíbrio), onde a distribuição não muda mais. Matematicamente, buscamos um autovetor associado ao autovalor \lambda = 1, tal que P X = X.

Montamos o sistema linear (P - I)X = 0:
\begin{pmatrix} 0,7 & 0,2 \\ 0,3 & 0,8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ \beta \end{pmatrix}

Da primeira equação:
0,7a + 0,2\beta = a
0,2\beta = 0,3a
2\beta = 3a \Rightarrow \beta = 1,5a

Sabemos que a soma das probabilidades deve ser 1 (a + \beta = 1):
a + 1,5a = 1
2,5a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2,5} = 0,4

Logo:
\beta = 1 - 0,4 = 0,6

Os valores encontrados (a=0,4 e \beta=0,6) coincidem exatamente com o enunciado.
Resultado: Verdadeiro.

Item c) Evolução a partir da Marca 1

"A probabilidade de um consumidor da lêmens da marca 1 comprar o da marca 2 ao final do segundo mês é superior a 50%."

Aqui devemos simular a evolução partindo de um consumidor que começa exclusivamente na marca 1.
Vetor inicial (X_0): a_0 = 1 (100% marca 1), b_0 = 0.

Mês 1 (X_1):
b_1 = 0,3(a_0) + 0,8(b_0) = 0,3(1) + 0 = 0,3
(30% migraram para a marca 2)

Mês 2 (X_2):
Precisamos da nova composição para calcular o fluxo do mês 2.
a_1 = 0,7(1) = 0,7.
b_1 = 0,3.

Aplicando a matriz novamente para achar a parte da marca 2 (b_2):
b_2 = 0,3(a_1) + 0,8(b_1)
b_2 = 0,3(0,7) + 0,8(0,3)
b_2 = 0,21 + 0,24 = 0,45

O resultado é 45%.
O item afirma que é superior a 50%.
$45\% < 50\%$.
Resultado: Falso.

Conclusão

Dentre os itens analisados no enunciado:

• Item a) Incorreto (não é PG decrescente).
• Item b) Correto (representa o equilíbrio do sistema).
• Item c) Incorreto (o valor é 45%, não > 50%).

Portanto, apenas o item (b) apresenta uma afirmação verdadeira.