Seja x uma variável aleatória com valor esperado E(x)=3 e variância Var(x)=4. Qual será a variância de 2x+1?

Resolução da Questão de Estatística

Resumo: A variância de Y = 2X + 1 é igual a 16.

Introdução

Esta questão envolve as propriedades fundamentais da variância de variáveis aleatórias lineares. É essencial compreender como transformações lineares afetam medidas de dispersão.

Desenvolvimento

Quando aplicamos uma transformação linear Y = aX + b a uma variável aleatória X, temos:

Por que isso acontece?

• A constante b não altera a variância, pois apenas desloca todos os valores igualmente
• O coeficiente a afeta a variância ao quadrado, pois expande ou contrai o espalhamento dos dados

## Análise Passo a Passo

1. Identificar os parâmetros:

• a = 2 (coeficiente multiplicativo)
• b = 1 (constante aditiva)
• Var(X) = 4 (variância original)

1. Aplicar a propriedade:
   Var(2X + 1) = 2^2 \times Var(X)
2. Calcular:
   Var(2X + 1) = 4 \times 4 = 16

Atenção! Um erro comum é calcular $2 \times Var(X) = 8$. O correto é elevar ao quadrado o coeficiente multiplicativo ($2^2 = 4$).

Conclusão

A variância de Y = 2X + 1 é 16.

O valor esperado E(X) = 3 foi informação adicional que não era necessária para este cálculo específico, pois a variância independe do valor central da distribuição.