Um produtor estima que 20% de seus melões são impróprios para consumo, pois estão muito verdes ou muito maduros. Ele vende as frutas em lotes com 10 unidades. Como é muito difícil inspecionar fruta por fruta na formação dos lotes, ele estabelece a seguinte regra para não prejudicar seus clientes: para cada lote, se não houver nenhum melão impróprio para consumo, o preço é de R$ 10,00; se houver um melão impróprio, o preço é R$ 8,00; se houver dois impróprios, o preço é R$ 6,00; e, com mais do que três, o preço único é de R$ 2,00. Qual é o preço aproximado de uma caixa?

Alternativa B

O problema solicita o cálculo do preço médio aproximado de um lote de melões, o que corresponde ao cálculo da Valor Esperado em uma distribuição de probabilidade. Como os melões são classificados como impróprios ou próprios com uma probabilidade fixa, utilizamos a Distribuição Binomial.

Análise do Cenário

Para resolver, precisamos definir os parâmetros da distribuição e calcular as probabilidades para cada faixa de preço descrita no enunciado:

• Número de tentativas (n): 10 melões por lote.
• Probabilidade de "sucesso" (p): 20% ($0,2$) de ser impróprio.
• Probabilidade de "erro" (q): 80% ($0,8$) de ser próprio.

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}

Cálculo das Probabilidades

Vamos calcular a chance de ocorrerem k melões impróprios para cada regra de preço:

1. Preço R$ 10,00 (0 impróprios):
   P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot (0,2)^0 \cdot (0,8)^{10} \approx 0,1074
2. Preço R$ 8,00 (1 impróprio):
   P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot (0,2)^1 \cdot (0,8)^9 \approx 0,2684
3. Preço R$ 6,00 (2 ou 3 impróprios):
   Calculamos separadamente e somamos:

• P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot (0,2)^2 \cdot (0,8)^8 \approx 0,3020
• P(X=3) = \binom{10}{3} \cdot (0,2)^3 \cdot (0,8)^7 \approx 0,2013
• Soma: $0,3020 + 0,2013 = 0,5033$

1. Preço R$ 2,00 (Mais de 3 impróprios):
   Utilizamos a propriedade da soma total igual a 1:
   P(X > 3) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)]
   P(X > 3) = 1 - [0,1074 + 0,2684 + 0,5033] = 1 - 0,8791 = 0,1209

Cálculo do Valor Esperado (Preço Médio)

O preço médio é a soma dos produtos de cada preço pela sua respectiva probabilidade:

Somando os valores da coluna "Contribuição", obtemos aproximadamente R$ 6,48.

Portanto, a alternativa correta é a letra b).