Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:

Question

1) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos: a) determinada pelo ponto A(1, 2,1) e pelo vetor v=(3,1,4); b) determinada pelos pontos A(2, 1,3) e B(3,0, 2); c) possui o ponto A(1, 2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor v=(2, 2,3); d) possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação r: {x+2}/3 = {y+4}/ 5 = {z 1}/2. 2) Calcular o valor de m para que as retas r: {x = 1+2t; y = mx 3; z = 2x} e s: {x = 3 t; y = 5t; z = 1+t} sejam ortogonais. 3) Determinar o valor de m para que as retas r: {x = t; y = mx+2; z = 3x 1} e s: {x = 1+2t; y = 1+2t; z = 2t} sejam coplanares. 4) Verificar se os pontos A(5, 5,6) e B(4, 1,2) pertencem à reta: {x 3}/ 1 = {y+1}/2 = {z 2}/ 2. 5) A reta r: {x 2}/4 = {y+2}/5 = z/3 forma um ângulo de 30° com a reta determinada pelos pontos A(0, 5, 2) e B(1,n, 5). Calcular o valor de n. 6) Sejam as retas t: {y = 3x 1; z = x+4} e s: {x 1}/ 2 = {y 2}/ 1 = {z+3}/2. Escrever as equações vetorial, paramétrica, simétricas e reduzidas da reta r que passa pelo ponto A( 2,1,3) e é simultaneamente ortogonal às retas t e s. A) determinada pelo ponto A(1, 2,1) e pelo vetor v⃑=(3,1,4); B) determinada pelos pontos A(2, 1,3) e B(3,0, 2); C) possui o ponto A(1, 2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor v⃑=(2, 2,3); D) possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação r: {x+2}/3 = {y+4}/ 5 = {z 1}/2. 2) Calcular o valor de m para que as retas r: {x = 1+2t; y = mx 3; z = 2x} e s: {x = 3 t; y = 5t; z = 1+t} sejam ortogonais. 3) Determinar o valor de m para que as retas r: {x = t; y = mx+2; z = 3x 1} e s: {x = 1+2t; y = 1+2t; z = 2t} sejam coplanares. 4) Verificar se os pontos A(5, 5,6) e B(4, 1,2) pertencem à reta: {x 3}/ 1 = {y+1}/2 = {z 2}/ 2. 5) A reta r: {x 2}/4 = {y+2}/5 = z/3 forma um ângulo de 30° com a reta determinada pelos pontos A(0, 5, 2) e B(1,n, 5). Calcular o valor de n. 6) Sejam as retas t: {y = 3x 1; z = x+4} e s: {x 1}/ 2 = {y 2}/ 1 = {z+3}/2. Escrever as equações vetorial, paramétrica, simétricas e reduzidas da reta r que passa pelo ponto A( 2,1,3) e é simultaneamente ortogonal às retas t e s.

Sapien IA · Accepted Answer

Introdução O problema aborda Geometria Analítica no Espaço , envolvendo equações de retas, ângulos, ortogonalidade e coplanaridade. Desenvolvimento 1) Equações das retas a) Ponto A(1, 2,1) e vetor v=(3,1,4) • Vetorial : r = (1, 2,1) + t(3,1,4) • Paramétrica : x=1+3t, y= 2+t, z=1+4t • Simétrica : (x 1)/3 = (y+2)/1 = (z 1)/4 • Reduzida : y = (1/3)(x 1) 2, z = (4/3)(x 1)+1 b) Pontos A(2, 1,3) e B(3,0, 2) • Vetor diretor v = B A = (1,1, 5) • Equações análogas ao item a. c) Ponto A(1, 2,3) e paralela à reta com v=(2, 2,3) • Mesmo vetor diretor v=(2, 2,3). d) Ponto A(2,1,0) e paralela à reta com v=(3, 5,2) • Vetor diretor v=(3, 5,2). 2) Ortogonalidade • Retas r e s : v r = (2, m, 2), v s = ( 1, 5, 1) • Condição : v r · v s = 0 • Cálculo : 2 ( 1) + m 5 + ( 2) 1 = 0 → 2 + 5m 2 = 0 → m = 4/5 3) Coplanaridade • Retas r e s : v r = (1, m, 3), v s = (2, 2, 2) • Pontos : P r = (0,2, 1), P s = (1,1,0) • Condição : (v r × v s) · (P s P r) = 0 • Cálculo : ( 2m 6) 1 + 8 ( 1) + (2 2m) 1 = 4m 12 = 0 → m = 3 4) Pertinência de pontos • Reta : (x 3)/ 1 = (y+1)/2 = (z 2)/ 2 • Ponto A(5, 5,6) : Substituindo, todos os quocientes são 2 → pertence • Ponto B(4, 1,2) : Quocientes são 1 e 0 → não pertence 5) Ângulo entre retas • Reta r : v r = (4,5,3) • Reta AB : v ab = (1, n+5, 3) • Fórmula : cos(30°) = |v r · v ab| / (|v r| |v ab|) • Cálculo : |v r| = 5√2, v r · v ab = 5n+20 • Equação : (5n+20) / (5√2 sqrt(1+(n+5)^2+9)) = √3/2 • Resolução : Após simplificar, n = 1 ou n = 9 6) Reta ortogonal a duas retas • Retas t e s : v t = (1,3, 1), v s = ( 2, 1,2) • Vetor diretor de r : v r = v t × v s = (5,0,5) • Ponto A( 2,1,3) • Equações : • Vetorial : r = ( 2,1,3) + t(5,0,5) • Paramétrica : x= 2+5t, y=1, z=3+5t • Simétrica : (x+2)/5 = (z 3)/5, y=1 • Reduzida : y=1, z=x+1 Análise • Conceitos chave : Vetores diretores, produtos vetoriais, produtos escalares, ângulos entre retas. • Importância : Essenciais para resolver problemas de geometria analítica no espaço. Conclusão As soluções foram obtidas aplicando conceitos de vetores , produtos escalares e produtos vetoriais . Os valores de m e n foram calculados conforme as condições de ortogonalidade, coplanaridade e ângulo entre retas.

Explicação passo a passo

Introdução

Desenvolvimento

1) Equações das retas

2) Ortogonalidade

3) Coplanaridade

4) Pertinência de pontos

5) Ângulo entre retas

6) Reta ortogonal a duas retas

Análise

Conclusão

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