Alternativa B - 72 metros
Visualização do Problema
Primeiro, modelamos a situação descrita como um triângulo geométrico:
- Vértice A: Representa a Bomba (ponto de captação).
- Vértice B: Representa a Caixa d'água.
- Vértice C: Representa a Residência.
Com base no enunciado, temos os seguintes dados:
- A distância entre a Bomba e a Caixa d'água (AB) é 60 metros.
- O ângulo em direção à Caixa d'água (\angle B) é 60°.
- O ângulo em direção à Residência pela Bomba (\angle A) é 75°.
- Precisamos calcular a distância direta da Bomba para a Residência (lado AC, que chamaremos de b).
Análise Matemática
1. Cálculo do Terceiro Ângulo
Sabendo que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, calculamos o ângulo restante (\angle C):
C = 180^\circ - (A + B)
C = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ)
C = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ
2. Aplicação da Lei dos Senos
Para encontrar a medida do lado b (distância Bomba-Residência), utilizamos a Lei dos Senos, que relaciona lados e senos dos ângulos opostos:
\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
Onde:
- b é o lado desejado (AC).
- B = 60^\circ.
- c = 60 m (lado conhecido AB).
- C = 45^\circ.
Isolando b:
b = \frac{c \times \sin B}{\sin C}
3. Substituição e Cálculo
Substituímos os valores conhecidos e usamos os valores exatos dos senos:
- \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
- \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
b = \frac{60 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
Simplificando a fração (cancelando os denominadores 2):
b = 60 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
Racionalizando o denominador multiplicando por \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}:
b = 60 \times \frac{\sqrt{6}}{2}
b = 30 \times \sqrt{6}
4. Uso da Aproximação Fornecida
A questão fornece o valor aproximado \sqrt{6} = 2,4.
b = 30 \times 2,4
b = 72 \text{ metros}
Conclusão
A quantidade de tubulação necessária para conectar a bomba diretamente à residência é de 72 metros.
Comparando com as alternativas apresentadas:
| Alternativa | Valor | Status |
|---|
| (A) | 12,5 metros | Incorreta |
| (B) | 72 metros | Correta |
| (C) | 35,29 metros | Incorreta |
| (D) | 21,25 metros | Incorreta |
| (E) | 28 metros | Incorreta |