A figura a seguir apresenta uma circunferência C(O, r) inscrita em um triângulo ΔABC. Se AB = 20 cm, BC = 16 cm e AC = 12 cm, é possível afirmar que o raio da circunferência é igual a:

Alternativa B

Para encontrar o raio da circunferência inscrita no triângulo, precisamos analisar as propriedades geométricas dos lados fornecidos.

Passo 1: Analisar o tipo de triângulo

Primeiro, verificamos se o triângulo formado pelos lados $12\text{ cm}, $16\text{ cm} e $20\text{ cm}$ possui alguma característica especial, como ser retângulo. Utilizamos o Teorema de Pitágoras (a^2 + b^2 = c^2):

Como $12^2 + 16^2 = 20^2$, trata-se de um triângulo retângulo, onde os catetos medem $12\text{ cm}$ e $16\text{ cm}, e a hipotenusa mede $20\text{ cm}.

Passo 2: Calcular o Raio (r)

Existem duas formas principais de resolver isso. Vamos utilizar o método da Área, que é universal para qualquer triângulo, mas também mencionaremos a fórmula específica para triângulos retângulos ao final.

A relação entre a área do triângulo (S), o semiperímetro (p) e o raio da circunferência inscrita (r) é dada por:

Cálculo do Semiperímetro (p):
O perímetro é a soma dos lados:
P = 12 + 16 + 20 = 48\text{ cm}
O semiperímetro é metade disso:
p = \frac{48}{2} = 24\text{ cm}

Cálculo da Área (S):
Como é um triângulo retângulo, a área é calculada pela metade do produto dos catetos:
S = \frac{\text{cateto}_1 \cdot \text{cateto}_2}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = \frac{192}{2} = 96\text{ cm}^2

Encontrando o Raio (r):
Substituímos os valores na fórmula principal:
96 = 24 \cdot r
r = \frac{96}{24}
r = 4\text{ cm}

Análise Detalhada

• Identificação do Triângulo: Reconhecer que $12, 16, 20$ formam uma terna pitagórica (múltiplos de $3, 4, 5$ multiplicados por $4$) agiliza o problema, pois permite usar fórmulas mais simples.
• Método Alternativo (Fórmula Específica): Para triângulos retângulos, existe uma fórmula direta para o raio da circunferência inscrita:
  r = \frac{\text{cateto}_1 + \text{cateto}_2 - \text{hipotenusa}}{2}
  r = \frac{12 + 16 - 20}{2} = \frac{8}{2} = 4\text{ cm}
• Conclusão: Ambos os métodos levam ao mesmo resultado, confirmando que o raio é igual a $4\text{ cm}$.

Portanto, a alternativa correta é a B.