Andreia tentou provar que sen(θ) = cos(180° - θ) usando o seguinte diagrama. Sua prova não está correta. Qual foi o primeiro erro na prova de Andreia?

Resumo da Resposta

O primeiro erro na prova de Andreia ocorre na Linha 1 (Afirmação 1). Ela calculou incorretamente a medida do ângulo C, ignorando o fato de que o triângulo possui um ângulo reto ($90^\circ$) no vértice A.

Justificativa Didática

Para entender onde está o erro, precisamos revisar as propriedades geométricas aplicadas no desenho:

1. Soma dos Ângulos Internos: Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é sempre igual a $180^\circ$.
   m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180^\circ
2. Análise do Triângulo ABC:

• O símbolo quadrado no vértice A indica que este é um ângulo reto, ou seja, m\angle A = 90^\circ.
• O ângulo B foi definido como \theta.
• Portanto, a equação correta para encontrar o ângulo C é:
  90^\circ + \theta + m\angle C = 180^\circ

1. Identificando o Erro de Andreia:

• Para isolar m\angle C, devemos subtrair ambos os outros ângulos da soma total:
  m\angle C = 180^\circ - 90^\circ - \theta
  m\angle C = 90^\circ - \theta
• Andreia escreveu m\angle C = 180^\circ - \theta. Ela esqueceu de subtrair os $90^\circ$ correspondentes ao ângulo A.

1. Consequência do Erro:

• Como a primeira linha está errada, toda a lógica subsequente depende de uma premissa falsa. Embora as definições de seno e cosseno nas linhas 2 e 3 estejam corretas geometricamente para o triângulo dado, elas não se conectam corretamente à afirmação falsificada sobre o ângulo C na linha 3.

Portanto, a falha inicial e fundamental aconteceu imediatamente na tentativa de calcular a medida do terceiro ângulo do triângulo.