Calcular tensão nos pontos A, B, C, D e E do pilar abaixo (flexão oblíqua): 30kN, 55kN, 120kN.

Análise da Questão: Flexão Oblíqua em Pilar

A questão apresentada solicita o cálculo das tensões normais em cinco pontos específicos (A, B, C, D e E) de um pilar submetido a carregamentos excêntricos. Este é um clássico problema de Flexão Oblíqua ou Tensão Normal Composta.

1. O que é Flexão Oblíqua?

A flexão oblíqua ocorre quando uma estrutura recebe uma carga axial que não passa pelo centroide da seção transversal, gerando momentos fletores em dois planos simultaneamente (eixos X e Y).

Para resolver, utilizamos o Princípio da Superposição, combinando:

1. Tensão por Esforço Normal (Axial): Distribuição uniforme.
2. Tensão por Flexão Simples (X): Devido ao momento M_x.
3. Tensão por Flexão Simples (Y): Devido ao momento M_y.

A fórmula geral para a tensão normal (\sigma) em qualquer ponto (x, y) da seção é:

Onde:

• N: Força axial resultante (soma das cargas verticais).
• A: Área da seção transversal.
• M_x, M_y: Momentos fletores resultantes em relação aos eixos centroidais.
• x, y: Coordenadas do ponto de interesse em relação ao centroide.
• I_x, I_y: Momentos de inércia da seção em relação aos eixos centroidais.

Análise Detalhada dos Dados

Com base na imagem fornecida, identificamos os seguintes parâmetros, embora existam algumas ambiguidades na localização exata das cargas menores (30kN, 55kN, 65kN).

A. Carregamento Axial (N)

A força axial é a soma de todas as cargas verticais aplicadas no topo do pilar.

• P_1 = 30 \text{ kN}
• P_2 = 55 \text{ kN}
• P_3 = 120 \text{ kN}
• P_4 = 65 \text{ kN}

B. Geometria da Seção

A seção transversal parece ser retangular. Pelas cotas:

• Largura (b) = 30 unidades (eixo X)
• Profundidade (h) = 18 unidades (eixo Y)

Cálculo da Área (A):
A = b \cdot h = 30 \cdot 18 = \mathbf{540 \text{ u}^2}

Cálculo dos Momentos de Inércia (I):
I_x = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{30 \cdot 18^3}{12} = \mathbf{14.580 \text{ u}^4}
I_y = \frac{h \cdot b^3}{12} = \frac{18 \cdot 30^3}{12} = \mathbf{40.500 \text{ u}^4}

C. Determinação dos Momentos (M_x e M_y)

Este é o ponto crítico da questão. Para calcular os momentos, precisamos saber a distância (excentricidade) de cada força em relação ao centroide da seção.

• Força de 120 kN: Possui cotas explícitas de 7 e 8. Assumindo que estas sejam as distâncias dos eixos centrais, ela gera grandes momentos.
• Forças de 30, 55 e 65 kN: As setas indicam posições próximas às bordas ou arestas, mas sem cotas explícitas de coordenadas. Em exercícios deste tipo, geralmente assume-se que elas estão localizadas nos centros das metades ou nas extremidades da base.

Exemplo de cálculo de Momento (Hipótese):
Se considerarmos apenas a força de 120kN com excentricidades e_x = 7 e e_y = 8:
M_x = 120 \cdot 8 = 960 \text{ k}\cdot\text{u}
M_y = 120 \cdot 7 = 840 \text{ k}\cdot\text{u}
(Nota: Os sinais positivos ou negativos dependem do sentido de rotação causado pela força em relação ao eixo).

D. Cálculo das Tensões nos Pontos

Os pontos A, B, C e D geralmente correspondem aos vértices da base superior, enquanto E pode ser um ponto interno ou o próprio ponto de aplicação da carga.

Para encontrar a tensão máxima ou mínima, avaliamos os pontos mais afastados do centroide (vértices):

• Vértice A (+x, +y): x = 15, y = 9
• Vértice B (-x, +y): x = -15, y = 9
• Vértice C (-x, -y): x = -15, y = -9
• Vértice D (+x, -y): x = 15, y = -9

Substituindo na equação:
\sigma = \frac{270}{540} \pm \frac{M_y \cdot 15}{40.500} \pm \frac{M_x \cdot 9}{14.580}

Conclusão e Observações

Devido à natureza esquemática do desenho, não é possível fornecer um valor numérico exato para as tensões nos pontos A, B, C, D e E sem assumir posições exatas para as cargas de 30, 55 e 65 kN.

No entanto, o caminho correto para responder à questão em um concurso ou prova seria:

1. Somar as forças para achar N = 270 \text{ kN}.
2. Determinar o centroide da seção (meio de 30 e 18).
3. Calcular as excentricidades de cada força individualmente.
4. Calcular os momentos totais M_x e M_y somando as contribuições de cada força (F_i \cdot d_i).
5. Aplicar a fórmula de superposição para cada ponto de interesse.
6. Verificar a Lei de Navier: A tensão será compressiva na maioria dos pontos se a carga estiver dentro do núcleo central, podendo gerar tração se a excentricidade for grande.

Resumo Didático:

• Conceito Chave: Tensão Normal Composta (Axial + Flexão X + Flexão Y).
• Fórmula: \sigma = \frac{N}{A} + \frac{M_y \cdot x}{I_y} + \frac{M_x \cdot y}{I_x}.
• Dica de Prova: Verifique sempre as unidades (kN para força, cm/m para medidas) e o sinal dos momentos (tração vs compressão).