Considerando os planos π₁: ax + by + 4z - 1 = 0 e π₂: 3x - 5y - 2z + 5 = 0, os valores de a e b, de modo que os planos sejam paralelos é, respectivamente:

Análise da Questão de Matemática

O problema solicita encontrar os valores das incógnitas $a$ e $b$ para que dois planos definidos por equações gerais sejam paralelos.

Para resolver, precisamos utilizar a propriedade vetorial dos planos no espaço tridimensional. Dois planos são paralelos quando seus vetores normais são colineares, ou seja, quando os coeficientes das variáveis $x, y, z$ nas equações são proporcionais.

Desenvolvimento

Dadas as equações dos planos:
$$ \pi_1: ax + by + 4z - 1 = 0 $$
$$ \pi_2: 3x - 5y - 2z + 5 = 0 $$

Os coeficientes diretores formam os vetores normais $\vec{n}1$ e $\vec{n}2$:

• $\vec{n}_1 = (a, b, 4)$
• $\vec{n}_2 = (3, -5, -2)$

A condição de paralelismo exige que a razão entre os coeficientes correspondentes seja constante:
$$ \frac{a}{3} = \frac{b}{-5} = \frac{4}{-2} $$

## Analise

Vamos calcular o valor da razão conhecida primeiro e depois aplicar às incógnitas:

• Razão constante ($k$):
  $$ k = \frac{4}{-2} = -2 $$
• Cálculo de $a$:
  $$ \frac{a}{3} = -2 \Rightarrow a = 3 \cdot (-2) \Rightarrow a = -6 $$
• Cálculo de $b$:
  $$ \frac{b}{-5} = -2 \Rightarrow b = (-5) \cdot (-2) \Rightarrow b = 10 $$

Portanto, os valores solicitados são $a = -6$ e $b = 10$.

Conclusao

Os valores que tornam os planos paralelos são $a = -6$ e $b = 10$.