Considerando os planos π₁: ax + by + 4z - 1 = 0 e π₂: 3x - 5y - 2z + 5 = 0, os valores de a e b, de modo que os planos sejam paralelos é, respectivamente:

Análise da Questão de Matemática

O problema solicita encontrar os valores das incógnitas a e b para que dois planos definidos por equações gerais sejam paralelos.

Para resolver, precisamos utilizar a propriedade vetorial dos planos no espaço tridimensional. Dois planos são paralelos quando seus vetores normais são colineares, ou seja, quando os coeficientes das variáveis x, y, z nas equações são proporcionais.

Desenvolvimento

Dadas as equações dos planos:
\pi_1: ax + by + 4z - 1 = 0
\pi_2: 3x - 5y - 2z + 5 = 0

Os coeficientes diretores formam os vetores normais \vec{n}_1 e \vec{n}_2:

• \vec{n}_1 = (a, b, 4)
• \vec{n}_2 = (3, -5, -2)

A condição de paralelismo exige que a razão entre os coeficientes correspondentes seja constante:
\frac{a}{3} = \frac{b}{-5} = \frac{4}{-2}

## Analise

Vamos calcular o valor da razão conhecida primeiro e depois aplicar às incógnitas:

• Razão constante (k):
  k = \frac{4}{-2} = -2
• Cálculo de a:
  \frac{a}{3} = -2 \Rightarrow a = 3 \cdot (-2) \Rightarrow a = -6
• Cálculo de b:
  \frac{b}{-5} = -2 \Rightarrow b = (-5) \cdot (-2) \Rightarrow b = 10

Portanto, os valores solicitados são a = -6 e b = 10.

Conclusao

Os valores que tornam os planos paralelos são $a = -6$ e $b = 10$.