Dados os vetores u = 2i - 3j, v = i - j e w = -2i + j. Determine: a) 2u - v b) v - u + 2w c) 1/2 u - 2v - w d) 3u - 1/2 v - 1/2 w. Dados os vetores u = (3,-1) e v = (-1,2) determine x tal que: a) 4(u - v) + 1/3 x = 2u - x b) 3x - (2v - u) = 2(4x - 3u). Dados os pontos A(-1,3), B(2,5), C(3,-1) e O(0,0). Encontre os vetores resultantes das operações: a) AO - AB b) OC - BC c) 3BA - 4CB

Introdução

A questão envolve operações com vetores em Geometria Analítica, incluindo soma, subtração, multiplicação por escalar e equações vetoriais.

Desenvolvimento

Questão 01: Operações com vetores

Dados: u = (2, -3), v = (1, -1), w = (-2, 1)

• a) 2u - v: 2*(2,-3) - (1,-1) = (4,-6) - (1,-1) = (3, -5)
• b) v - u + 2w: (1,-1) - (2,-3) + 2*(-2,1) = (-1,2) + (-4,2) = (-5, 4)
• c) 1/2 u - 2v - w: (1,-1.5) - (2,-2) - (-2,1) = (1-2+2, -1.5+2-1) = (1, -0.5)
• d) 3u - 1/2 v - 1/2 w: (6,-9) - (0.5,-0.5) - (-1,0.5) = (6-0.5+1, -9+0.5-0.5) = (6.5, -9)

Questão 02: Equações vetoriais

Dados: u = (3,-1), v = (-1,2)

• a) 4(u - v) + 1/3 x = 2u - x
• Simplificando: 4u - 4v + 1/3 x = 2u - x
• Isolando x: 2u - 4v = -4/3 x → x = -3/4 (2u - 4v) = (-7.5, 7.5)
• b) 3x - (2v - u) = 2(4x - 3u)
• Simplificando: 3x - 2v + u = 8x - 6u
• Isolando x: -5x = -7u + 2v → x = (7/5)u - (2/5)v = (4.6, -2.2)

Questão 03: Vetores a partir de pontos

Dados: A(-1,3), B(2,5), C(3,-1), O(0,0)

• a) AO - AB: AO = (1,-3), AB = (3,2) → (1,-3) - (3,2) = (-2, -5)
• b) OC - BC: OC = (3,-1), BC = (1,-6) → (3,-1) - (1,-6) = (2, 5)
• c) 3BA - 4CB: BA = (-3,-2), CB = (-1,6) → 3(-3,-2) - 4(-1,6) = (-9,-6) - (-4,24) = (-5, -30)

Análise

• As operações vetoriais seguem as regras de soma, subtração e multiplicação por escalar.
• Para equações vetoriais, é crucial isolar o vetor x em um dos lados da equação.
• Vetores entre pontos são calculados como diferença de coordenadas (ex: AB = B - A).

Conclusão

Os resultados estão apresentados em forma de componentes (x, y) para cada operação solicitada.