Alternativa B
Para resolver esta questão, precisamos identificar o tipo de cônica, sua orientação e calcular a excentricidade. Vamos analisar passo a passo.
Análise da Equação
A equação fornecida é:
\frac{(y-3)^2}{9} - \frac{(x+2)^2}{16} = 1
Esta equação está no padrão de uma hipérbole, pois há um sinal de subtração (-) entre os dois termos quadráticos. A forma geral de uma hipérbole é:
\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 \quad \text{ou} \quad \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1
1. Orientação da Hipérbole
A orientação depende de qual variável tem o termo positivo (o primeiro termo):
- Se o termo com y for positivo, o eixo transversal é vertical (Hipérbole Vertical).
- Se o termo com x for positivo, o eixo transversal é horizontal (Hipérbole Horizontal).
No nosso caso, o termo \frac{(y-3)^2}{9} é o primeiro e tem sinal positivo. Portanto, trata-se de uma Hipérbole Vertical.
Isso nos permite descartar as alternativas A e C.
2. Cálculo dos Parâmetros
Identificamos os valores de a^2 e b^2 observando os denominadores:
- O termo positivo está associado a a^2, logo: a^2 = 9 \Rightarrow a = 3.
- O termo negativo está associado a b^2, logo: b^2 = 16 \Rightarrow b = 4.
3. Cálculo da Excentricidade (e)
Para encontrar a excentricidade, primeiro precisamos calcular o valor de c (distância do centro ao foco), usando a relação fundamental das hipérboles:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores encontrados:
c^2 = 9 + 16
c^2 = 25
c = 5
A fórmula da excentricidade para uma hipérbole é e = \frac{c}{a} (sempre dividimos pela distância do centro ao vértice, que é a):
e = \frac{5}{3}
Conclusão
Com base nas análises:
- Tipo: Hipérbole Vertical
- Excentricidade: $5/3$
Comparando com as opções disponíveis, a única que corresponde a esses dados é a Alternativa B.