Marque a alternativa abaixo que representa a equação de uma hipérbole ou de retas concorrentes.

Alternativa E

Para identificar se uma equação do segundo grau representa uma hipérbole, devemos analisar o discriminante da parte quadrática da equação. A forma geral é dada por:

O discriminante \Delta é calculado pela fórmula:

A classificação das cônicas não degeneradas depende do valor de \Delta:

• \Delta > 0: Hipérbole
• \Delta = 0: Parábola
• \Delta < 0: Elipse (incluindo círculos)

Vamos analisar as alternativas para encontrar aquela onde \Delta > 0.

Análise Detalhada

• Alternativa A: $2x^2 + 2y^2 - 4xy - 4y + 10 = 0$
• Coeficientes: A = 2, B = -4, C = 2
• \Delta = (-4)^2 - 4(2)(2) = 16 - 16 = 0
• Resultado: \Delta = 0 (Parábola ou retas paralelas).
• Alternativa B: x^2 + y^2 - 5x + 4y + 10 = 0
• Coeficientes: A = 1, B = 0, C = 1
• \Delta = 0^2 - 4(1)(1) = -4
• Resultado: \Delta < 0 (Elipse ou circunferência).
• Alternativa C: $2x^2 + y^2 - 5x + 4y + 10 = 0$
• Coeficientes: A = 2, B = 0, C = 1
• \Delta = 0^2 - 4(2)(1) = -8
• Resultado: \Delta < 0 (Elipse).
• Alternativa D: $2x^2 + y^2 + xy - 5x + 4y + 10 = 0$
• Coeficientes: A = 2, B = 1, C = 1
• \Delta = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7
• Resultado: \Delta < 0 (Elipse).
• Alternativa E: $2x^2 - y^2 - 4xy - 5x + 4y + 10 = 0$
• Primeiro, organizamos os termos quadráticos: $2x^2 - 4xy - 1y^2...$
• Coeficientes: A = 2, B = -4, C = -1
• \Delta = (-4)^2 - 4(2)(-1)
• \Delta = 16 - (-8)
• \Delta = 16 + 8 = 24
• Resultado: \Delta > 0 (Hipérbole)

Portanto, apenas a alternativa E satisfaz a condição de representar uma hipérbole, pois seu discriminante é positivo.