Para a função f(x, y) = x² + y², qual é a equação da curva de nível associada a k = 9?

Question

Para a função f(x, y) = x² + y², qual é a equação da curva de nível associada a k = 9? A) Uma reta x + y = 9 B) Uma parábola y = x² 9 C) Uma circunferência centrada na origem com raio 3 D) Uma circunferência centrada na origem com raio 9

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa C Uma circunferência centrada na origem com raio 3 Explicação Detalhada Para resolver esta questão, precisamos entender o conceito de curva de nível e identificar a forma geométrica representada pela equação resultante. 1. O que é uma Curva de Nível? Uma curva de nível para uma função de duas variáveis $f(x, y)$ é o conjunto de pontos no plano onde a função assume um valor constante $k$. Matematicamente, definimos isso igualando a função ao valor fixo: $$f(x, y) = k$$ 2. Aplicando os Dados do Problema Temos a seguinte informação: Função: $f(x, y) = x^2 + y^2$ Valor constante ($k$): $9$ Substituindo na definição de curva de nível: $$x^2 + y^2 = 9$$ 3. Identificando a Forma Geométrica O enunciado fornece uma dica fundamental: "Lembrando que a equação da circunferência é: $x^2 + y^2 = r^2$" Comparando nossa equação ($x^2 + y^2 = 9$) com a fórmula padrão da circunferência ($x^2 + y^2 = r^2$), podemos concluir: Centro: Como não há termos lineares em $x$ ou $y$ (como $(x a)^2$ ou $(y b)^2$), o centro está na origem $(0,0)$. Raio ($r$): O lado direito da equação representa o quadrado do raio ($r^2$). $$r^2 = 9$$ Para encontrar o raio, tiramos a raiz quadrada: $$r = \sqrt{9} = 3$$ Análise das Alternativas | Alternativa | Afirmação | Correta? | Motivo | | : | : | : | : | | A | Uma reta $x + y = 9$ | ❌ | Equação linear de primeiro grau. Nossa equação é de segundo grau. | | B | Uma parábola $y = x^2 9$ | ❌ | Equação de parábola vertical. Não corresponde à soma dos quadrados. | | C | Circunferência com raio 3 | ✅ | Corresponde a $x^2 + y^2 = 3^2$. Raio correto ($\sqrt{9}$). | | D | Circunferência com raio 9 | ❌ | Erro comum de confundir $r^2$ com $r$. Aqui $r=3$, não 9. | Conclusão A equação $x^2 + y^2 = 9$ descreve uma circunferência com centro na origem $(0,0)$ e raio igual a 3 unidades. Portanto, a alternativa correta é a C .

Explicação passo a passo

Explicação Detalhada

1. O que é uma Curva de Nível?

2. Aplicando os Dados do Problema

3. Identificando a Forma Geométrica

## Análise das Alternativas

Conclusão

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Alternativa	Afirmação	Correta?	Motivo
A	Uma reta $x + y = 9$	❌	Equação linear de primeiro grau. Nossa equação é de segundo grau.
B	Uma parábola $y = x^2 - 9$	❌	Equação de parábola vertical. Não corresponde à soma dos quadrados.
C	Circunferência com raio 3	✅	Corresponde a $x^2 + y^2 = 3^2$ . Raio correto ( $\sqrt{9}$ ).
D	Circunferência com raio 9	❌	Erro comum de confundir $r^2$ com $r$ . Aqui $r=3$ , não 9.