Qual é o comprimento de BC?

Alternativa C

O problema apresenta um triângulo retângulo onde conhecemos a hipotenusa e um ângulo agudo, pedindo o comprimento do cateto oposto a esse ângulo.

Análise Matemática

Podemos resolver essa questão utilizando duas abordagens principais: Trigonometria ou o Teorema de Pitágoras.

Método 1: Uso da Trigonometria (Seno)

A função seno relaciona o cateto oposto com a hipotenusa em um triângulo retângulo.
\sin(\theta) = \frac{\text{Cateto Oposto}}{\text{Hipotenusa}}

Substituindo os dados da figura:

• Ângulo \theta = 45^\circ
• Hipotenusa (AB) = $12$
• Cateto Oposto (BC) = x

Sabemos que o valor de \sin(45^\circ) é \frac{\sqrt{2}}{2}. Logo:
\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{x}{12}

Multiplicando cruzado para encontrar x:
x = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
x = 6\sqrt{2}

Método 2: Propriedades do Triângulo Isósceles

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^\circ$, podemos calcular o ângulo em B:

• Ângulo em C = 90^\circ
• Ângulo em A = 45^\circ
• Ângulo em B = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ

Como os ângulos A e B são iguais ($45^\circ$), o triângulo é isósceles, o que significa que os catetos são iguais (AC = BC = x). Aplicando o Teorema de Pitágoras:
AC^2 + BC^2 = AB^2
x^2 + x^2 = 12^2
2x^2 = 144
x^2 = 72
x = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}

Portanto, o comprimento de BC é $6\sqrt{2}$.

Alternativa C.