Sabendo que os triângulos representados abaixo são isósceles de base BC, determine o valor de x.

O valor do ângulo x é $105^{\circ}$.

Introdução

O problema apresenta um triângulo ABC onde é informado que ele é isósceles de base \overline{BC}. Isso significa que dois lados têm comprimentos iguais e, consequentemente, os ângulos opostos a esses lados também são iguais. Nosso objetivo é encontrar o valor do ângulo externo x no vértice C.

Desenvolvimento

Para resolver esta questão, precisamos aplicar propriedades fundamentais da geometria plana, especificamente sobre triângulos isósceles e a soma dos ângulos internos.

1. Propriedade do Triângulo Isósceles: Como a base é \overline{BC}, os lados laterais \overline{AB} e \overline{AC} são congruentes. Portanto, os ângulos da base são iguais:
   m(\angle ABC) = m(\angle ACB)
2. Soma dos Ângulos Internos: Sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a $180^{\circ}. Temos o ângulo do vértice $A dado como $30^{\circ}. Vamos chamar o ângulo interno em $C de y.
   30^{\circ} + y + y = 180^{\circ}
   2y = 150^{\circ}
   y = 75^{\circ}
   Assim, o ângulo interno \angle ACB mede $75^{\circ}$.
3. Relação entre Ângulos Suplementares: O ângulo x forma uma linha reta com o ângulo interno \angle ACB. Isso significa que eles são suplementares, ou seja, somam $180^{\circ}$.
   x + 75^{\circ} = 180^{\circ}
   x = 180^{\circ} - 75^{\circ}
   x = 105^{\circ}

Análise

Os conceitos-chave utilizados nesta resolução foram:

• Triângulo Isósceles: Todo triângulo com dois lados iguais possui dois ângulos internos iglos (opostos aos lados iguais).
• Teorema da Soma dos Ângulos: A soma interna é sempre fixa ($180^{\circ}$).
• Ângulos Externos: Um ângulo externo de um polígono convexo é suplementar ao seu ângulo interno adjacente.
• Cálculo Algébrico: Utilizamos equações simples para isolar as incógnitas geométricas.

Conclusão

Com base nas propriedades geométricas aplicadas passo a passo, determinamos que a medida do ângulo interno correspondente é $75^{\circ}. Subtraindo este valor de $180^{\circ} para obter o ângulo externo, chegamos ao resultado final.

Resposta: $x = 105^{\circ}$