A posição da força pontual equivalente é 1821.71 mm.
O problema solicita o cálculo da posição do centroide (\bar{x}) de um carregamento distribuído w(x) ao longo de uma viga. Este ponto representa onde a força resultante atua para produzir os mesmos efeitos externos que o carregamento original.
Desenvolvimento
Para encontrar a posição \bar{x} da força equivalente, utilizamos a fórmula do centroide de área sob a curva de carga:
\bar{x} = \frac{\int_0^L x \cdot w(x) \, dx}{\int_0^L w(x) \, dx}
Onde:
- O denominador representa a Força Resultante (F_R).
- O numerador representa o Momento Total (M_O) em relação à origem.
1. Cálculo da Força Resultante (F_R)
Integramos a função de carga w(x) = w_0 + \left(\frac{x}{L}\right)^2 de $0$ a L:
F_R = \int_0^L \left( w_0 + \frac{x^2}{L^2} \right) \, dx = \left[ w_0 x + \frac{x^3}{3L^2} \right]_0^L
Substituindo os limites:
F_R = w_0 L + \frac{L^3}{3L^2} = w_0 L + \frac{L}{3} = L \left( w_0 + \frac{1}{3} \right)
2. Cálculo do Momento (M_O)
Integramos x \cdot w(x):
M_O = \int_0^L x \left( w_0 + \frac{x^2}{L^2} \right) \, dx = \int_0^L \left( w_0 x + \frac{x^3}{L^2} \right) \, dx
M_O = \left[ \frac{w_0 x^2}{2} + \frac{x^4}{4L^2} \right]_0^L
Substituindo os limites:
M_O = \frac{w_0 L^2}{2} + \frac{L^4}{4L^2} = L^2 \left( \frac{w_0}{2} + \frac{1}{4} \right)
3. Cálculo da Posição \bar{x}
Dividimos o momento pela força resultante:
\bar{x} = \frac{L^2 \left( \frac{w_0}{2} + \frac{1}{4} \right)}{L \left( w_0 + \frac{1}{3} \right)} = L \cdot \frac{\frac{2w_0 + 1}{4}}{\frac{3w_0 + 1}{3}}
Simplificando a fração complexa:
\bar{x} = L \cdot \frac{3(2w_0 + 1)}{4(3w_0 + 1)}
4. Substituição dos Valores Numéricos
Dados do exercício:
- w_0 = 6 \text{ N/m}
- L = 3550 \text{ mm}
Substituindo na equação simplificada:
\bar{x} = 3550 \cdot \frac{3(2(6) + 1)}{4(3(6) + 1)}
\bar{x} = 3550 \cdot \frac{3(13)}{4(19)}
\bar{x} = 3550 \cdot \frac{39}{76}
\bar{x} \approx 3550 \cdot 0.5131579
\bar{x} \approx 1821.7105...
Arredondando para duas casas decimais conforme solicitado:
Resposta: 1821.71