Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 10 cm e a projeção ortogonal dele sobre a hipotenusa mede 5 cm. Dessa forma, qual é a medida da hipotenusa?

Alternativa C - 20 cm

Para resolver esta questão, precisamos utilizar as propriedades métricas do triângulo retângulo, especificamente uma das relações estabelecidas por Euclides.

Contexto Geométrico:

Em um triângulo retângulo, quando traçamos a altura relativa à hipotenusa, ela divide o triângulo original em dois outros triângulos menores, semelhantes ao original. Isso gera várias relações entre as medidas dos lados (catetos e hipotenusa) e as projeções desses catetos sobre a hipotenusa.

A relação específica utilizada neste problema é conhecida como o Teorema de Euclides do Cateto. Ele afirma que:

O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da sua projeção ortogonal sobre a hipotenusa pela medida da hipotenusa inteira.

Análise Detalhada

Vamos identificar os dados fornecidos no enunciado:

• Medida do cateto (c): $10\text{ cm}$
• Medida da projeção ortogonal desse cateto (p): $5\text{ cm}$
• Medida da hipotenusa (h): Incógnita (x)

A fórmula correspondente é:

Substituindo os valores conhecidos na equação:

Realizando o cálculo do quadrado do cateto:

Isolando a incógnita (x), dividimos ambos os lados por 5:

Portanto, a medida da hipotenusa é de $20\text{ cm}$.

A alternativa correta é a letra C, pois corresponde exatamente ao resultado encontrado através da aplicação direta da propriedade métrica.