Alternativa B - 10 cm
Para resolver esta questão, precisamos utilizar a fórmula do volume do cilindro e estabelecer uma relação de proporcionalidade entre os dois objetos descritos no enunciado.
A fórmula para calcular o volume (V) de um cilindro é dada pelo produto da área da base pelo altura:
V = \text{Área da Base} \times \text{Altura}
V = \pi \cdot r^2 \cdot h
Desenvolvimento
Primeiro, vamos calcular o volume da primeira lata (a maior), que possuímos todos os dados:
- Raio (r_1): $6 \text{ cm}$
- Altura (h_1): $4 \text{ cm}$
Substituindo na fórmula:
V_1 = \pi \cdot 6^2 \cdot 4
V_1 = \pi \cdot 36 \cdot 4
V_1 = 144\pi
Em seguida, definimos o volume da segunda lata (a menor), onde a altura é desconhecida (x):
- Raio (r_2): $3 \text{ cm}$
- Altura (h_2): x
Substituindo na fórmula:
V_2 = \pi \cdot 3^2 \cdot x
V_2 = \pi \cdot 9 \cdot x
V_2 = 9\pi x
O enunciado afirma que V_1 é 1,6 vezes maior que V_2. Podemos montar a seguinte equação:
V_1 = 1,6 \cdot V_2
Substituímos os valores calculados anteriormente:
144\pi = 1,6 \cdot (9\pi x)
Podemos cancelar o \pi de ambos os lados da equação, pois ele está presente em ambas as expressões:
144 = 1,6 \cdot 9 \cdot x
144 = 14,4 \cdot x
Isolando a incógnita x:
x = \frac{144}{14,4}
x = 10
Portanto, a altura desconhecida mede 10 cm.
Análise
- Conceito Chave: Cálculo de volume geométrico plano.
- Fator Determinante: A razão entre os volumes permite encontrar a dimensão faltante.
- Erro Comum: Esquecer de elevar o raio ao quadrado ou confundir qual volume é o maior. Note que, apesar da segunda lata ter raio menor, ela precisa ser mais alta para compensar a diferença de volume estabelecida.
- Verificação: Se a altura fosse 10cm, o volume seria $90\pi$. O volume maior é $144\pi$. $144 / 90 = 1,6$. A conta fecha perfeitamente.
Conclusão
A medida da altura desconhecida vale 10 cm, correspondendo à Alternativa B.