Calcular a frequência de corte inferior (f_c1) e a frequência de corte superior (f_c2) de um filtro passa-faixa com frequência de ressonância de 5 kHz e largura de faixa de 3 kHz.

Alternativa A - f_{c1} = 3,72\text{ kHz} e f_{c2} = 6,72\text{ kHz}

Para resolver este problema, precisamos utilizar as relações fundamentais entre a frequência de ressonância, a largura de banda e as frequências de corte em um filtro passa-faixa.

Definições dos dados:

• Frequência de Ressonância (f_r): $5\text{ kHz}$
• Largura de Banda (BW): $3\text{ kHz}$
• Frequência de Corte Inferior (f_{c1}): ?
• Frequência de Corte Superior (f_{c2}): ?

Desenvolvimento Matemático

O cálculo exato para filtros passa-faixa utiliza a média geométrica para a frequência de ressonância, especialmente quando a largura de banda é significativa em relação à frequência central. As equações são:

1. BW = f_{c2} - f_{c1}
2. f_r = \sqrt{f_{c1} \cdot f_{c2}}

Primeiro, isolamos uma variável na primeira equação:
f_{c2} = f_{c1} + BW
f_{c2} = f_{c1} + 3

Em seguida, substituímos esse valor na segunda equação:
5 = \sqrt{f_{c1} \cdot (f_{c1} + 3)}

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
25 = f_{c1}^2 + 3f_{c1}

Reorganizamos para formar uma equação do segundo grau (ax^2 + bx + c = 0):
f_{c1}^2 + 3f_{c1} - 25 = 0

Aplicamos a fórmula de Bhaskara (\Delta = b^2 - 4ac):

• a = 1
• b = 3
• c = -25

Calculamos f_{c1}:
f_{c1} = \frac{-3 + \sqrt{109}}{2} \approx \frac{-3 + 10,44}{2} \approx \frac{7,44}{2} = 3,72\text{ kHz}

Agora calculamos f_{c2} usando a largura de banda:
f_{c2} = 3,72 + 3 = 6,72\text{ kHz}

Análise das Alternativas

• Cálculo Confirmado: Obtivemos f_{c1} = 3,72\text{ kHz} e f_{c2} = 6,72\text{ kHz}.
• Eliminação de Erros Comuns:
• Alternativas B e C: Apresentam frequências negativas (-3,72\text{ kHz}, etc.), o que é fisicamente impossível em análise espectral real.
• Alternativa D: Usa $2,72\text{ kHz}$ para f_{c1}, o que não satisfaz a equação quadrática derivada acima.
• Alternativa E: Apresenta valores incorretos que não somam a largura de banda correta nem geram a frequência de ressonância dada.

Portanto, a alternativa que contém os valores corretos obtidos pela resolução da equação quadrática é a A.

Alternativa A.