Carol, Júlia e Pedro estão estudando o gráfico da função exponencial $f(x) = ig( rac{1}{3}ig)^x$ apresentado para $x angle -2$. Observe as afirmações feitas por cada um deles:

Alternativa [Correta: Júlia]

A questão apresenta três afirmações sobre o comportamento da função exponencial f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x. Para determinar quem está correto, devemos analisar as propriedades matemáticas dessa função específica.

A função dada tem base b = \frac{1}{3}. Como $0 < \frac{1}{3} < 1$, trata-se de uma função exponencial de decrescimento. Isso significa que, à medida que o valor de x aumenta, o valor de f(x) diminui, aproximando-se assintoticamente de zero, mas nunca atingindo-o.

Análise das Afirmações

Vamos verificar cada declaração feita pelos estudantes com base no gráfico e nas propriedades algébricas:

• Carol: "O gráfico da função toca o eixo x."
• Incorreto. Funções exponenciais da forma a^x (onde a > 0 e a \neq 1) têm como imagem os números reais positivos (0, \infty). O eixo x (y=0) é uma assíntota horizontal. O gráfico se aproxima infinitamente desse eixo, mas nunca o toca nem cruza.
• Júlia: "A função é decrescente em todo o seu domínio."
• Correto. Para qualquer função exponencial f(x) = b^x, se a base satisfizer $0 < b < 1$, a função é estritamente decrescente. No intervalo dado (x \ge -2), conforme x cresce, y cai continuamente. Não há pontos de máximo local ou constantes.
• Pedro: "A função se mantém constante para x > 2."
• Incorreto. Embora o gráfico pareça "achatado" visualmente perto do eixo x à direita, matematicamente a função continua diminuindo. O valor de f(x) tende a $0$ quando x \to \infty, mas nunca se torna igual a um número fixo (constante) num intervalo aberto.

Resumo Comparativo

Conclusão:

Das três pessoas, apenas Júlia fez uma afirmação matematicamente verdadeira. As outras duas confundiram o conceito de assíntota com intersecção e o comportamento assintótico com constância.

Portanto, a resposta correta identifica Júlia como a única pessoa certa.