Considere a equação do 2º grau 2014x²-2015x-4029=0. Sabendo-se que a raiz não inteira é dada por a/b, onde a e b são primos entre si, a soma dos algarismos de (a+b) é:

Resolução da Questão

A soma dos algarismos de (a+b) é 13.

Para resolver essa equação do segundo grau com coeficientes numéricos grandes, utilizaremos uma estratégia de substituição de variável para simplificar os cálculos e evitar erros aritméticos.

Desenvolvimento

1. Simplificação da Equação

Observe os coeficientes da equação $2014x^2 - 2015x - 4029 = 0$:

• A = 2014
• B = -2015 = -(2014 + 1)
• C = -4029 = -(2 \times 2014 + 1)

Seja k = 2014. Podemos reescrever a equação em função de k:
kx^2 - (k+1)x - (2k+1) = 0

2. Cálculo do Discriminante (\Delta)

Usando a fórmula \Delta = B^2 - 4AC:
\Delta = [-(k+1)]^2 - 4(k)[-(2k+1)]
\Delta = (k+1)^2 + 4k(2k+1)
\Delta = (k^2 + 2k + 1) + (8k^2 + 4k)
\Delta = 9k^2 + 6k + 1

Note que esta expressão é um quadrado perfeito:
\Delta = (3k+1)^2

3. Determinação das Raízes

Aplicando a fórmula de Bhaskara x = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}:
x = \frac{(k+1) \pm (3k+1)}{2k}

Calculamos as duas raízes possíveis:

• Raiz 1 (+):
  x_1 = \frac{k+1 + 3k+1}{2k} = \frac{4k+2}{2k} = \frac{2(2k+1)}{2k} = \frac{2k+1}{k}
• Raiz 2 (-):
  x_2 = \frac{k+1 - (3k+1)}{2k} = \frac{-2k}{2k} = -1

4. Análise da Raiz Não Inteira

Substituindo k = 2014 nas raízes encontradas:

• x_2 = -1 (Esta é uma raiz inteira)
• x_1 = \frac{2(2014)+1}{2014} = \frac{4029}{2014} (Esta é a raiz não inteira)

O problema afirma que a raiz não inteira é dada por \frac{a}{b}, onde a e b são primos entre si.
Temos a = 4029 e b = 2014.

Verificamos se são primos entre si usando o Algoritmo de Euclides:
4029 = 1 \times 2014 + 2015
2014 = 0 \times 2015 + 2014
Na verdade, observe que $4029 = 2 \times 2014 + 1$.
Logo, \text{MDC}(4029, 2014) = \text{MDC}(1, 2014) = 1.
Portanto, a fração já está na forma irredutível.

5. Cálculo Final

Precisamos somar os valores de a e b:
a + b = 4029 + 2014 = 6043

Por fim, somamos os algarismos deste resultado:
6 + 0 + 4 + 3 = 13

Análise

Alternativa correta seria 13 caso fosse múltipla escolha.