Considere a função de transferência discreta dada por G(z) = (0.265z + 0.162) / (z² - 1.562z + 0.512). Fazendo uso do plano W, determine o máximo valor de ganho, antes de o sistema ficar instável.

Alternativa C - 3,0

Para determinar o limite de estabilidade de um sistema discreto, devemos analisar a localização dos polos da função de transferência em malha fechada. O método solicitado ("plano W") transforma o problema do domínio z para o domínio w, onde os critérios de estabilidade se tornam análogos aos sistemas contínuos.

Desenvolvimento

1. Equação Característica:
   A condição de estabilidade é dada por $1 + K_p G(z) = 0$. Substituindo a função dada:
   1 + K_p \left( \frac{0.265z + 0.162}{z^2 - 1.562z + 0.512} \right) = 0

Multiplicando pelo denominador, obtemos o polinômio característico em z:
z^2 - 1.562z + 0.512 + K_p(0.265z + 0.162) = 0

Agrupando os termos por potências de z:
z^2 + (0.265 K_p - 1.562)z + (0.162 K_p + 0.512) = 0

1. Critério de Estabilidade (Plano W / Jury):
   Para um sistema de segunda ordem, a estabilidade exige que todos os polos estejam dentro do círculo unitário (|z| < 1). O método do Plano W mapeia esse círculo para o semi-plano esquerdo, permitindo usar o critério de Routh-Hurwitz. Para este nível de complexidade, podemos aplicar as condições de Jury, que são equivalentes e mais diretas para polinômios quadráticos:

Seja o polinômio P(z) = z^2 + a_1 z + a_0 = 0. As condições são:

• |a_0| < 1
• $1 + a_1 + a_0 > 0$
• $1 - a_1 + a_0 > 0$

1. Cálculo do Limite de Ganho (K_p):
   Identificamos os coeficientes:

• a_1 = 0.265 K_p - 1.562
• a_0 = 0.162 K_p + 0.512

A restrição mais crítica geralmente vem do termo constante a_0 (produto das raízes). Impomos a condição de fronteira a_0 = 1:
0.162 K_p + 0.512 = 1
0.162 K_p = 0.488
K_p \approx 3.012

Verificando as outras condições (para garantir que não haja violação anterior):

• Condição $1 + a_1 + a_0 > 0 \Rightarrow K_p > 0.117$ (Limite inferior)
• Condição $1 - a_1 + a_0 > 0 \Rightarrow K_p < 29.8$ (Limite muito afastado)

Portanto, o sistema torna-se instável quando K_p ultrapassa aproximadamente 3.0.

Análise

• Transformação W: O método pedido converte o círculo unitário em z para o eixo imaginário em w. Isso permite usar tabelas de Routh. Para ordens baixas, o resultado numérico coincide com as desigualdades de Jury aplicadas diretamente em z.
• Limites: O ganho máximo admissível é determinado pela interseção do lugar das raízes com o círculo unitário.
• Comparativo:

O valor que define o limite superior de estabilidade é 3.0.

Alternativa C.