Considere o polinômio p definido por p(x)=x^2+2⋅(n+2)⋅x+9n.
Se as raízes de p(x)=0 são iguais, os valores de n são

Question

Considere o polinômio p definido por p(x)=x^2+2⋅(n+2)⋅x+9n. Se as raízes de p(x)=0 são iguais, os valores de n são

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa não especificada Os valores de n são 1 e 4 Para um polinômio quadrático ter raízes iguais (raízes duplas), o discriminante deve ser igual a zero . Identificando os coeficientes O polinômio é: $p(x) = x^2 + 2 \cdot (n+2) \cdot x + 9n$ | Coeficiente | Valor | | | | | $a$ | $1$ | | $b$ | $2(n+2)$ | | $c$ | $9n$ | Condição para raízes iguais $$\Delta = b^2 4ac = 0$$ Substituindo os valores: $$[2(n+2)]^2 4(1)(9n) = 0$$ Desenvolvimento passo a passo Passo 1: Expandir o quadrado $$4(n+2)^2 36n = 0$$ $$4(n^2 + 4n + 4) 36n = 0$$ Passo 2: Distribuir e simplificar $$4n^2 + 16n + 16 36n = 0$$ $$4n^2 20n + 16 = 0$$ Passo 3: Dividir por 4 para simplificar $$n^2 5n + 4 = 0$$ Passo 4: Resolver a equação do segundo grau Usando a fórmula de Bhaskara ou fatoração: $$(n 4)(n 1) = 0$$ Portanto: $$n = 4 \quad 	ext{ou} \quad n = 1$$ Verificação | Valor de n | Polinômio | Discriminante | | | | | | $n = 1$ | $x^2 + 6x + 9$ | $\Delta = 36 36 = 0$ ✓ | | $n = 4$ | $x^2 + 12x + 36$ | $\Delta = 144 144 = 0$ ✓ | Ambos os valores produzem trinômios quadrados perfeitos! Conclusão Os valores de $n$ que tornam as raízes do polinômio iguais são n = 1 e n = 4 . Observação: As alternativas originais da questão não foram fornecidas. Procure a opção que contém esses dois valores.

Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Identificando os coeficientes

Condição para raízes iguais

Desenvolvimento passo a passo

Passo 1: Expandir o quadrado

Passo 2: Distribuir e simplificar

Passo 3: Dividir por 4 para simplificar

Passo 4: Resolver a equação do segundo grau

Verificação

Conclusão

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Valor de n	Polinômio	Discriminante
$n = 1$	$x^2 + 6x + 9$	$\Delta = 36 - 36 = 0$ ✓
$n = 4$	$x^2 + 12x + 36$	$\Delta = 144 - 144 = 0$ ✓