Alternativa A - 44%
Para determinar o sobressinal (overshoot) de um sistema discreto, é necessário analisar os polos da função de transferência e relacioná-los com o fator de amortecimento (\zeta). O processo envolve converter as coordenadas cartesianas dos polos para polares e aplicar fórmulas padrão de controle.
Passo a Passo da Solução
1. Identificar a Equação Característica
A resposta transitória é definida pelos polos do sistema, que são as raízes do denominador da função de transferência:
D(z) = z^2 - 0,84z + 0,598 = 0
2. Calcular os Polos (Raízes)
Utilizando a fórmula quadrática para encontrar as raízes complexas conjugadas:
z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Substituindo os valores (a=1, b=-0,84, c=0,598):
z_{1,2} = \frac{0,84 \pm \sqrt{0,7056 - 2,392}}{2} = \frac{0,84 \pm j\sqrt{1,6864}}{2}
z_{1,2} = 0,42 \pm j0,6493
3. Converter para Coordenadas Polares (r, \theta)
Os polos podem ser representados como z = r e^{j\theta}.
- Magnitude (r): Raiz quadrada do termo constante (c).
r = \sqrt{0,598} \approx 0,7733 - Ângulo (\theta): Arco tangente da parte imaginária sobre a real.
\theta = \arctan\left(\frac{0,6493}{0,42}\right) \approx 0,996 \text{ rad}
4. Determinar o Fator de Amortecimento (\zeta)
Em sistemas discretos, o fator de amortecimento é calculado relacionando a magnitude (r) e o ângulo (\theta) dos polos:
\zeta = \frac{-\ln(r)}{\sqrt{\theta^2 + [\ln(r)]^2}}
Calculando \ln(r):
\ln(0,7733) \approx -0,257
Substituindo na equação de \zeta:
\zeta = \frac{0,257}{\sqrt{0,996^2 + (-0,257)^2}} \approx \frac{0,257}{1,028} \approx 0,25
5. Calcular o Sobressinal (\sigma\%)
Com \zeta = 0,25, aplicamos a fórmula clássica do sobressinal para sistemas de segunda ordem:
\sigma\% = 100 \cdot e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}
\sigma\% = 100 \cdot e^{-\frac{\pi \cdot 0,25}{\sqrt{1 - 0,25^2}}} \approx 100 \cdot e^{-0,811} \approx 44,4\%
Conclusão
O cálculo aponta para um valor próximo de 44%, o que corresponde à alternativa A.
Resumo das Fórmulas Utilizadas:
- Raízes: z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
- Polares: r = \sqrt{c}, \theta = \arctan(\frac{Im}{Re})
- Amortecimento: \zeta = \frac{-\ln(r)}{\sqrt{\theta^2 + \ln^2(r)}}
- Sobressinal: \sigma\% = 100 e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}