Considere uma função f: R⁺ → R⁺ que é crescente e satisfaz a seguinte condição: f(2x) = 2f(x), para todo x ∈ R⁺. Se f(4) = 8, qual é o valor de f(1)?

Alternativa B

A questão apresenta uma função f definida nos números reais positivos (\mathbb{R}^+) que possui uma propriedade específica de escalonamento linear. O objetivo é determinar o valor de f(1) sabendo que f(4) = 8.

A condição fundamental dada no enunciado é:
f(2x) = 2f(x)

Isso significa que, se dobrarmos o valor da variável de entrada (x), o valor da função também dobra. Para resolver, podemos trabalhar de forma regressiva, partindo do valor conhecido f(4) até chegar ao valor desejado f(1).

Análise

Podemos decompor o problema em dois passos lógicos utilizando a propriedade da função:

• Primeiro Passo: Encontrar $f(2)$
  Sabemos que f(4) = 8. Podemos reescrever o argumento 4 como $2 \cdot 2$.
  Aplicando a fórmula f(2x) = 2f(x) com x = 2:
  f(4) = f(2 \cdot 2) = 2f(2)
  Substituindo o valor conhecido:
  8 = 2f(2)
  Isolando f(2):
  f(2) = \frac{8}{2} = 4
• Segundo Passo: Encontrar $f(1)$
  Agora sabemos que f(2) = 4. Podemos reescrever o argumento 2 como $2 \cdot 1$.
  Aplicando a fórmula novamente com x = 1:
  f(2) = f(2 \cdot 1) = 2f(1)
  Substituindo o valor encontrado anteriormente:
  4 = 2f(1)
  Isolando f(1):
  f(1) = \frac{4}{2} = 2

Portanto, o valor de f(1) é igual a 2.

Alternativa B.