Alternativa A - Somente as afirmativas I e III estão corretas.
Para resolver esta questão sobre Sistemas de Tempo Discreto, precisamos analisar a função de transferência dada e determinar as posições dos polos e zeros, bem como a condição de estabilidade.
1. Identificando Polos e Zeros
A função de transferência é:
G(z) = \frac{z + 0.45}{z^2 - 0.12z + 0.68}
- Zeros: São as raízes do numerador.
z + 0.45 = 0 \Rightarrow z = -0.45
Existe um único zero em -0.45. - Polos: São as raízes do denominador (z^2 - 0.12z + 0.68 = 0). Usamos a fórmula de Bhaskara:
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Substituindo os valores (a=1, b=-0.12, c=0.68):
z = \frac{0.12 \pm \sqrt{(-0.12)^2 - 4(1)(0.68)}}{2}
z = \frac{0.12 \pm \sqrt{0.0144 - 2.72}}{2}
z = \frac{0.12 \pm \sqrt{-2.7056}}{2}
Como o discriminante é negativo, temos uma solução complexa conjugada:
z = 0.06 \pm j\frac{\sqrt{2.7056}}{2} \approx 0.06 \pm j0.822
2. Análise das Afirmativas
- I. O sistema é estável, de acordo com a posição dos polos.
- Verdadeiro. Em sistemas discretos, a estabilidade assintótica exige que todos os polos estejam estritamente dentro do círculo unitário no plano complexo (|p| < 1).
- Calculando a magnitude dos polos encontrados:
|p| = \sqrt{(0.06)^2 + (0.822)^2} \approx \sqrt{0.0036 + 0.675} \approx 0.824 - Como $0.824 < 1$, os polos estão dentro do círculo unitário, logo o sistema é estável.
- II. Os polos estão posicionados em +0,45 e -0,45.
- Falso. Estes valores correspondem ao zero da função (z = -0.45) ou seriam raízes reais se o denominador fosse diferente. Os polos são complexos.
- III. Os polos estão posicionados 0,06 + j0,822 e 0,06 – j0,822.
- Verdadeiro. Esta é a exata resolução matemática da equação do denominador apresentada acima.
- IV. Não podemos chegar a nenhuma conclusão analisando a posição dos polos.
- Falso. A análise da posição dos polos é o método fundamental para determinar a estabilidade em sistemas lineares invariantes no tempo.
- V. O zero da função de transferência é em -0,45 e é determinante para a estabilidade do sistema.
- Falso. Embora o zero esteja realmente em -0.45, a estabilidade de um sistema linear depende exclusivamente dos polos, não dos zeros. Os zeros influenciam a resposta transitória e a forma da saída, mas não determinam se o sistema diverge ou converge.
Conclusão
Com base na análise matemática e teórica:
- Afirmativa I: Correta
- Afirmativa II: Incorreta
- Afirmativa III: Correta
- Afirmativa IV: Incorreta
- Afirmativa V: Incorreta
Portanto, apenas as afirmativas I e III estão corretas.