Demonstre que √2 é um número irracional, feita por um estudante de métodos de demonstração. Suponha, por absurdo, que √2 é racional. Desta forma, seria possível encontrar números inteiros a; b, com b ≠ 0, tais que √2 poderia ser representado como fração irredutível a/b. PORQUE A partir disto, podemos afirmar que: 2 = (√2)² = a²/b² 2b² = a² Assim, temos que a² é par e, desta forma, a também é par. Como a é par, a = 2k para algum inteiro k. Logo: 2b² = (2k)² = 4k² b² = 2k² O que nos diz que b também é par. Mas isto é uma contradição, pois se a e b são pares, a fração irredutível a/b poderia ser reduzida, um absurdo. Logo, podemos concluir que o número não pode ser racional, e sim irracional. A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.

Alternativa A - As asserções I e II são proposições verdadeiras, e II é uma justificativa da I.

Introdução

Esta questão aborda o método de demonstração por contradição (ou reductio ad absurdum) aplicado à prova da irracionalidade do número \sqrt{2}. Para responder, precisamos verificar a veracidade matemática de cada passo e a relação lógica estabelecida pelo conectivo "PORQUE".

Desenvolvimento

Análise da Asserção I:
A assunção inicial de que um número é racional significa que ele pode ser escrito como uma fração \frac{a}{b}, onde a e b são inteiros e b \neq 0.

• Sempre podemos assumir, sem perda de generalidade, que essa fração é irredutível (não possui fatores comuns entre numerador e denominador).
• Portanto, a afirmação de começar a prova supondo \sqrt{2} = \frac{a}{b} irredutível é verdadeira e metodologicamente correta.

Análise da Asserção II:
Esta parte realiza os cálculos algébricos derivados da hipótese da asserção I:

• Eleva-se ao quadrado: $2 = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow 2b^2 = a^2$.
• Deduz-se que a^2 é par, logo a é par (a = 2k).
• Substitui-se em $2b^2 = (2k)^2 \Rightarrow 2b^2 = 4k^2 \Rightarrow b^2 = 2k^2$.
• Conclui-se que b^2 é par, logo b é par.
• Se a e b são pares, ambos são divisíveis por 2, o que contradiz a condição de ser uma fração irredutível.
• Todos os passos lógicos e aritméticos apresentados são verdadeiros.

Análise da Relação Lógica

O conectivo "PORQUE" no texto do estudante indica uma relação de causa e efeito ou de fundamentação.

• A asserção II demonstra que a hipótese proposta na asserção I leva inevitavelmente a uma contradição lógica.
• Essa contradição é exatamente o que valida o método de prova iniciado em I. Ou seja, a validade da estratégia de supor a fração irredutível (I) é sustentada pelo fato de que tal suposição gera uma impossibilidade matemática (II).
• Portanto, II atua como a justificativa lógica que confirma a pertinência do caminho traçado em I para demonstrar a irracionalidade.

Conclusão

Ambas as partes contêm informações matemáticas corretas e a segunda parte explica a lógica subjacente à primeira dentro do contexto da demonstração. Assim, a opção que afirma que ambas são verdadeiras e que a segunda justifica a primeira é a correta.