Determine a soma da série associada à sequência $a_n = rac{3^{n-1}}{5^{n-1}}$. A série se inicia para $n = 1$.

Question

Determine a soma da série associada à sequência $a n = rac{3^{n 1}}{5^{n 1}}$. A série se inicia para $n = 1$. A) $ rac{5}{2}$ B) $ rac{3}{5}$ C) $ rac{1}{2}$ D) $ rac{9}{5}$ E) $ rac{11}{2}$

Sapien IA · Accepted Answer

Resolução da Questão

A questão solicita a soma de uma série infinita definida por uma sequência geométrica. Para resolver, precisamos identificar os elementos dessa progressão e aplicar a fórmula adequada para somas infinitas.

Alternativa A - $\frac{5}{2}$

Desenvolvimento do Cálculo

A sequência fornecida é $a_n = \frac{3^{n-1}}{5^{n-1}}$ . Podemos reescrever essa expressão usando propriedades de potências:

a_n = \left(\frac{3}{5}\right)^{n-1}

Para encontrar a soma da série, analisamos os primeiros termos começando de $n=1$ :

Primeiro termo ( $a_1$ ): Quando $n=1$ , temos $a_1 = (\frac{3}{5})^0 = 1$ .
Segundo termo ( $a_2$ ): Quando $n=2$ , temos $a_2 = (\frac{3}{5})^1 = \frac{3}{5}$ .

Isso caracteriza uma Progressão Geométrica (PG).

## Análise

Para determinar a soma, identificamos os parâmetros fundamentais da Progressão Geométrica:

Primeiro termo ( $a_1$ ): $1$
Razão ( $q$ ): $\frac{a_2}{a_1} = \frac{3/5}{1} = \frac{3}{5}$

Como a razão absoluta é menor que 1 ( $|\frac{3}{5}| < 1$ ), a série converge e podemos usar a fórmula da soma da PG infinita:

S = \frac{a_1}{1 - q}

Substituindo os valores na equação:

S = \frac{1}{1 - \frac{3}{5}}

S = \frac{1}{\frac{2}{5}}

S = \frac{5}{2}

Portanto, a soma da série é exatamente $\frac{5}{2}$.

Comparando com as opções apresentadas na imagem, a alternativa que corresponde a este valor é a letra A.

Explicação passo a passo

Resolução da Questão

Desenvolvimento do Cálculo

## Análise

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