Determine os valores que preenchem as lacunas na seguinte equação: 32^2/5 = (2^?)^2/5 = ?

Resolução da Questão de Potenciação

Esta questão envolve propriedades de potências e radiciação, especificamente a conversão de um número composto em uma potência de base menor e a aplicação da regra da potência de potência.

O objetivo é encontrar os valores que preenchem as lacunas na equação:
32^{\frac{2}{5}} = (2^{?})^{\frac{2}{5}} = ?

Passo a Passo da Solução

1. Identificar a base 2:
   Precisamos transformar o número $32$ em uma potência de base $2$.
   Fazemos a decomposição em fatores primos ou multiplicamos sucessivamente por 2 até chegar a 32:
   2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32
   Isso equivale a:
   2^5 = 32
   Portanto, o primeiro valor desconhecido (expoente da base 2) é 5.
2. Aplicar a propriedade da potência de potência:
   Agora substituímos 32 por $2^5$ na equação original:
   (2^5)^{\frac{2}{5}}
   A regra fundamental para potências elevadas a outras potências é manter a base e multiplicar os expoentes:
   (a^m)^n = a^{m \cdot n}
   Aplicando à nossa expressão:
   2^{5 \cdot \frac{2}{5}}
3. Simplificar a fração:
   Realizamos a multiplicação dos expoentes:
   5 \cdot \frac{2}{5} = \frac{10}{5} = 2
   Ou, simplificando diretamente o 5 do numerador com o 5 do denominador, sobra apenas o 2.
   A expressão fica:
   2^2
4. Calcular o valor final:
   Finalmente, calculamos o valor de $2^2$:
   2^2 = 4
   Este é o valor do segundo ponto de interrogação.

Análise dos Conceitos

• Decomposição em Fatores Primos: Essencial para expressar números compostos (como 32) como potências de bases primas (como 2).
• Potência de Potência: Regra (x^a)^b = x^{a \cdot b}. Permite simplificar expressões complexas multiplicando os expoentes.
• Frações como Expoentes: Um expoente fracionário \frac{m}{n} indica a raiz n$-ésima elevada à potência $m. Neste caso, $32^{\frac{2}{5}}$ seria a raiz quinta de 32 elevada ao quadrado. Como $32 = 2^5$, a raiz quinta de $2^5$ é 2, e $2^2$ é 4.

Conclusão

Os valores que preenchem as lacunas são, respectivamente:

1. No expoente da base 2: 5
2. No resultado final: 4

A equação completa é:
32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4