Em determinado país, em que a moeda é simbolizada por $, o imposto de renda é cobrado em função da renda mensal do trabalhador da seguinte forma: Isento, se a renda mensal do trabalhador for igual ou inferior a $10.000,00; II. 10% sobre a renda, menos 1.000,00, se a renda mensal do trabalhador for superior a 10.000,00 e inferior ou igual a $20.000,00. III. 20% sobre a renda, se a renda mensal do trabalhador for superior a $20.000,00. Se, para uma renda mensal igual a $x$, o trabalhador recolhe I(x) de imposto, então é correto afirmar que:

Alternativa D

Para resolver esta questão, precisamos analisar a definição da função de imposto I(x) por partes, determinando seu domínio e sua imagem (conjunto dos valores possíveis).

Definição da Função:

Seja x a renda mensal e I(x) o imposto pago. O enunciado define três regras:

1. Regra I: Se x \leq 10.000, então I(x) = 0.
2. Regra II: Se $10.000 < x \leq 20.000$, então I(x) = 0,10x - 1.000.
3. Regra III: Se x > 20.000, então I(x) = 0,20x.

Análise da Imagem (Valores de I(x)):

Vamos calcular o intervalo de valores para cada parte da função:

• Parte 1 (x \leq 10.000):
  O imposto é fixo em zero.
  Imagem_1 = \{0\}
• Parte 2 ($10.000 < x \leq 20.000$):
  Calculamos os limites da função linear f(x) = 0,1x - 1.000:
• Próximo a $10.000$: $0,1(10.000) - 1.000 = 0$.
• Em $20.000$: $0,1(20.000) - 1.000 = 1.000$.
  Como a função é crescente neste intervalo, a imagem vai de pouco acima de 0 até 1.000 (incluindo).
  Imagem_2 = (0; 1.000]
  União com a Parte 1: [0; 1.000].
• Parte 3 (x > 20.000):
  Calculamos o limite da função g(x) = 0,2x:
• Próximo a $20.000$: $0,2(20.000) = 4.000$.
• Para valores maiores, o imposto cresce indefinidamente.
  Como a regra exige estritamente maior que $20.000$, o valor exato de $4.000$ não é atingido nesta parte.
  Imagem_3 = (4.000; +\infty[

Comparação com as Alternativas:

A união dos intervalos obtidos resulta em:
Imagem_{total} = [0; 1.000] \cup (4.000; +\infty[

Observa-se um "salto" na imagem: não existem rendas que gerem impostos entre R$ 1.000,00 e R$ 4.000,00.

Conclusão

A alternativa D é a correta porque descreve adequadamente a natureza descontínua da função, mostrando que há uma lacuna nos valores possíveis do imposto entre 1.000 e 4.000 reais.