Em determinado país, em que a moeda é simbolizada por $, o imposto de renda é cobrado em função da renda mensal do trabalhador da seguinte forma: Isento, se a renda mensal do trabalhador for igual ou inferior a $10.000,00; II. 10% sobre a renda, menos $1.000,00, se a renda mensal do trabalhador for superior a $10.000,00 e inferior ou igual a $20.000,00. III. 20% sobre a renda, se a renda mensal do trabalhador for superior a $20.000,00. Se, para uma renda mensal igual a $x$, o trabalhador recolhe $I(x)$ de imposto, então é correto afirmar que:

Alternativa D

Para resolver esta questão, precisamos construir a função matemática I(x) que representa o valor do imposto com base na renda x, analisando o conjunto de valores possíveis que essa função pode assumir (sua imagem).

Análise da Função por Partes

Vamos dividir o problema nos três cenários descritos no enunciado:

1. Regra I: Renda x \le 10.000

• O imposto é isento.
• I(x) = 0
• Neste caso, o único valor possível de imposto é 0.

1. Regra II: Renda $10.000 < x \le 20.000$

• Fórmula: 10% sobre a renda, menos \$1.000.
• I(x) = 0,10x - 1.000
• Vamos testar os extremos deste intervalo:
• Se x se aproxima de $10.000$: I(x) \approx 0,10(10.000) - 1.000 = 0.
• Se x = 20.000 (valor incluso pelo "ou igual"): I(20.000) = 0,10(20.000) - 1.000 = 2.000 - 1.000 = 1.000.
• Portanto, neste intervalo, o imposto varia de 0 até 1.000. O conjunto de valores é [0, 1.000].

1. Regra III: Renda x > 20.000

• Fórmula: 20% sobre a renda.
• I(x) = 0,20x
• Como a renda é estritamente superior a 20.000 (x > 20.000):
• I(x) > 0,20 \times 20.000
• I(x) > 4.000
• Portanto, neste intervalo, o imposto assume valores maiores que 4.000. O conjunto de valores é (4.000, +\infty[.

Determinação da Imagem da Função

A imagem da função é a união de todos os valores possíveis encontrados nos passos anteriores:

• Do caso I e II: Obtemos o intervalo [0, 1.000].
• Do caso III: Obtemos o intervalo (4.000, +\infty[.

Unindo esses dois conjuntos, temos:
Im(I) = [0, 1.000] \cup (4.000, +\infty[

Note que existe uma "lacuna" (descontinuidade) entre 1.000 e 4.000. Nenhum trabalhador pagará um imposto entre esse valor, pois ao ultrapassar 20.000 de renda, o cálculo salta diretamente para mais de 4.000.

Verificação das Alternativas

• A) Incorreta. A função não é constante, ela cresce conforme a renda aumenta.
• B) Incorreta. O domínio não começa em 10.000. Pessoas com renda menor que 10.000 também existem (estão na Regra I). O domínio seria [0, +\infty[.
• C) Incorreta. A imagem não é contínua de 0 até infinito devido ao "pulo" entre a Regra II e a Regra III.
• D) Correta. Representa exatamente a união dos intervalos calculados: [0, 1000] \cup (4000, +\infty[.
• E) Incorreta, pois a alternativa D é verdadeira.