Em determinado país, em que a moeda é simbolizada por $, o imposto de renda é cobrado da seguinte forma: Isento, se a renda mensal do trabalhador for igual ou inferior a $10.000,00; II. 10% sobre a renda, menos $1.000,00, se a renda mensal do trabalhador for superior a $10.000,00 e inferior ou igual a $20.000,00. III. 20% sobre a renda, se a renda mensal do trabalhador for superior a $20.000,00. Se, para uma renda mensal igual a $x$, o trabalhador recolhe I(x) de imposto, então é correto afirmar que:

Análise da Questão

A questão apresenta uma função definida por partes que modela o cálculo de um imposto de renda I(x), dependendo da faixa salarial x. Para encontrar a resposta correta, precisamos analisar o comportamento da função e determinar seu conjunto imagem (todos os valores possíveis de imposto).

Definição da Função

Com base no enunciado, a função I(x) é definida da seguinte forma:

1. Faixa 1 ($0 \le x \le 10.000$): Isento.
   I(x) = 0
2. Faixa 2 ($10.000 < x \le 20.000$): 10% sobre a renda, menos $1.000,00.
   I(x) = 0,10x - 1.000
3. Faixa 3 (x > 20.000): 20% sobre a renda.
   I(x) = 0,20x

Verificação das Alternativas

Vamos analisar cada item para encontrar o erro ou a correção:

• Alternativa A (Função Constante): Incorreta. Uma função constante mantém o mesmo valor de saída para qualquer entrada. Aqui, o valor do imposto aumenta conforme a renda aumenta nas faixas II e III.
• Alternativa B (Domínio): Incorreta. O domínio de uma função representa os valores permitidos para a variável independente (x, a renda). Como a regra I abrange rendas menores ou iguais a $10.000$, o domínio começa em $0$ (ou próximo disso), e não em $10.000$.
• Alternativa C e D (Imagem): Precisamos calcular o intervalo de valores que a função assume (o montante do imposto).

Cálculo da Imagem da Função

1. Para a Faixa 1:
   Todos os valores resultam em imposto zero.
   \text{Imagem}_1 = \{0\}
2. Para a Faixa 2:
   Calculamos os limites para ver quais valores de imposto são gerados:

• Quando x tende a $10.000$: I(x) = 0,10(10.000) - 1.000 = 1.000 - 1.000 = 0.
• Quando x = 20.000: I(x) = 0,10(20.000) - 1.000 = 2.000 - 1.000 = 1.000.
• Logo, nesta faixa, o imposto varia entre $0$ e $1.000$.
  \text{Imagem}_2 = [0; 1.000]

1. Para a Faixa 3:
   Calculamos o ponto de partida desta nova alíquota:

• Quando x tende a $20.000$ (limite superior da faixa anterior): I(x) = 0,20(20.000) = 4.000.
• Como a condição é x > 20.000, o imposto será estritamente maior que $4.000$.
  \text{Imagem}_3 = (4.000; +\infty)

Conclusão sobre a Imagem Total

O conjunto imagem da função é a união dos resultados das três faixas:
\text{Im}(I) = [0; 1.000] \cup (4.000; +\infty)

Note que existe um "salto" ou lacuna na imagem: não existe nenhuma renda possível que gere um imposto entre $1.000$ e $4.000$. Quem ganha exatamente $20.000$ paga $1.000$ de imposto. Quem ganha um centavo a mais (digamos $20.001$), paga $4.000,20$.

Portanto:

• A alternativa C está errada porque sugere que existem valores de imposto entre $1.000$ e $4.000$.
• A alternativa D descreve corretamente a união dos intervalos encontrados.

Alternativa D