O domínio da função $f(x) = rac{\sqrt{15-x}}{3-x}$ é o conjunto de números $x \\\in \\mathbb{R}$, tais que:

Alternativa A - x \leq 15, com x \neq 3

Para determinar o domínio de uma função, precisamos identificar quais valores de x tornam a expressão definida. Neste caso, temos duas restrições principais: a raiz quadrada e o denominador da fração.

Análise dos Requisitos

1. Restrição da Raiz Quadrada

A expressão \sqrt{15-x} exige que o conteúdo dentro da raiz seja não-negativo. Isso significa que ele deve ser maior ou igual a zero para existir no conjunto dos números reais.
15 - x \geq 0
Resolvendo para x:
15 \geq x \Rightarrow x \leq 15

2. Restrição do Denominador

A fração possui um denominador $3-x$. Em matemática, divisão por zero é proibida. Portanto, o denominador nunca pode ser igual a zero.
3 - x \neq 0
Resolvendo para x:
3 \neq x \Rightarrow x \neq 3

Combinação das Condições

Para que a função esteja definida, ambas as condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Podemos resumir assim:

Portanto, o domínio é o conjunto de todos os números reais menores ou iguais a 15, excluindo o número 3.

A alternativa correta corresponde exatamente a essa descrição: x \leq 15, com x \neq 3.