O gerente de produção de uma indústria deve tomar uma decisão sobre qual deve ser a meta de produção e venda de certo bem produzido por ela. Sobre esse produto, ele dispõe das seguintes informações: custo fixo de produção: R$ 15.000,00 custo (variável) unitário: R$ 40,00 função de demanda: Q = 400 - P O gráfico abaixo representa as funções custo, receita e lucro totais desse bem. Qual é a quantidade que deve ser produzida e vendida desse bem para que se obtenha lucro máximo?

Análise do Problema de Lucro Máximo

Para encontrar a quantidade que maximiza o lucro, precisamos analisar as funções de custo, receita e lucro.

Funções Econômicas

Custo Total (CT):
CT = CF + CV \times Q
CT = 15.000 + 40Q

Receita Total (R):
Da função de demanda Q = 400 - P, temos:
P = 400 - Q

Função de Lucro (L):
L = R - CT
L = (400Q - Q^2) - (15.000 + 40Q)
L = -Q^2 + 360Q - 15.000

Análise Matemática

Para encontrar o máximo lucro, aplicamos dois métodos equivalentes:

Condição de máximo: O coeficiente de Q^2 é negativo (-1), confirmando que a parábola abre para baixo e existe um ponto de máximo.

Verificação do Preço Ótimo

Com Q = 180:
P = 400 - 180 = R\$ 220,00

Lucro máximo:
L = -(180)^2 + 360(180) - 15.000 = R\$ 37.400,00

Conclusão

A quantidade que deve ser produzida e vendida para obter lucro máximo é 180 unidades.

Isso ocorre porque, abaixo de 180 unidades, a receita marginal excede o custo marginal (produzir mais aumenta o lucro). Acima de 180 unidades, o custo marginal supera a receita marginal (produzir mais reduz o lucro).