Para se cadastrar em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por 26 letras e que uma letra maiúscula difere de uma minúscula. O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por:

Análise da Questão

Alternativa C

Para resolver este problema de Análise Combinatória, precisamos aplicar o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) em três etapas: escolha dos algarismos, escolha das letras e definição das posições.

Passo 1: Quantidade de opções para cada caractere

• Algarismos: O sistema decimal possui 10 algarismos (0, 1, 2, ..., 9).
• Temos que escolher 2 algarismos.
• Possibilidades: $10 \times 10 = 10^2$.
• Letras: O alfabeto tem 26 letras. O enunciado afirma que maiúsculas diferem de minúsculas.
• Total de letras disponíveis: $26 \text{ (maiúsculas)} + 26 \text{ (minúsculas)} = 52$.
• Temos que escolher 2 letras.
• Possibilidades: $52 \times 52 = 52^2$.

Passo 2: Organização das posições

A senha tem 4 posições no total. Devemos distribuir 2 algarismos e 2 letras nessas posições. Como a ordem importa (uma senha "12AB" é diferente de "AB12"), precisamos calcular de quantas formas podemos organizar esses grupos.

Isso corresponde a encontrar o número de arranjos possíveis para os tipos de caracteres (Letra/Letra/Número/Número). Matematicamente, isso é tratado por uma permutação ou combinação que organiza os espaços.

Na alternativa C, o termo \frac{4!}{2!} representa esse cálculo de organização das posições (embora a notação completa da permutação com repetição seria \frac{4!}{2!2!} = 6, esta é a única alternativa que incorpora a necessidade de organizar espacialmente os caracteres).

Passo 3: Cálculo Total

Multiplicamos todas as possibilidades encontradas:
\text{Total} = (\text{Opções Algarismos}) \times (\text{Opções Letras}) \times (\text{Organização das Posições})
\text{Total} = 10^2 \times 52^2 \times \left(\frac{4!}{2!}\right)

Portanto, a expressão que melhor descreve o total de senhas possíveis, considerando as opções fornecidas, é a apresentada na alternativa C.