Se (40, x, y, 5, ...) é uma progressão geométrica de razão q e (q, 8- a, 7/2, ...) é uma progressão aritmética, determine o valor de a.

Alternativa B - Valor de a = 6

Resolução Passo a Passo

1. Encontrando a razão da PG

Temos a progressão geométrica: (40, x, y, 5, ...) com razão q

Na PG, o termo geral é dado por:
a_n = a_1 \times q^{n-1}

Para o 4º termo:
5 = 40 \times q^3

Isolando q:
q^3 = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}
q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}

2. Usando q na PA

Agora temos a progressão aritmética: (q, 8-a, 7/2, ...)

Substituindo q = \frac{1}{2}:
(\frac{1}{2}, 8-a, \frac{7}{2}, ...)

Em uma PA, a diferença entre termos consecutivos é constante (d):

3. Calculando a diferença comum

Como é PA:
d = (8-a) - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} - (8-a)

Resolvendo a equação:
(8-a) - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} - (8-a)
8-a-\frac{1}{2} = \frac{7}{2}-8+a
\frac{16-2a-1}{2} = \frac{7-16+2a}{2}
\frac{15-2a}{2} = \frac{-9+2a}{2}

Multiplicando ambos os lados por 2:
15-2a = -9+2a
15+9 = 2a+2a
24 = 4a
a = 6

Verificação

Com a = 6, a PA fica: (\frac{1}{2}, 2, \frac{7}{2})

Verificando as diferenças:

• $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
• \frac{7}{2} - 2 = \frac{3}{2}

As diferenças são iguais! A resposta está correta.

Conclusão

O valor de a = 6, correspondente à Alternativa B.