Alternativa C
Resumo:
A função é bijetora porque sua imagem cobre todo o conjunto dos números reais ($\mathbb{R}$) sem sobreposições de valores. Além disso, verificamos que $f(0) = 3$, o que implica que a imagem inversa de 3 é 0.
Análise Detalhada
1. Análise da Bijetividade (Injetiva e Sobrejetiva)
Para determinar se a função é bijetora, precisamos analisar as imagens geradas por cada um dos seus dois ramos (partes):
- Primeiro Ramo ($x \leq 0$):
- Função: $f(x) = 3x + 3$
- É uma função linear crescente.
- Valor no limite superior ($x=0$): $f(0) = 3(0) + 3 = 3$.
- Quando $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$.
- Imagem deste ramo: $(-\infty, 3]$.
- Segundo Ramo ($x > 0$):
- Função: $f(x) = x^2 + 4x + 3$
- É uma parábola com vértice em $x = -2$. Como analisamos apenas $x > 0$, estamos estudando a parte crescente da parábola.
- Limite inferior ($x \to 0$): $0^2 + 4(0) + 3 = 3$.
- Quando $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$.
- Imagem deste ramo: $(3, +\infty)$.
Conclusão sobre a Função:
A imagem total da função é a união das imagens dos dois ramos:
$$ \text{Im}(f) = (-\infty, 3] \cup (3, +\infty) = \mathbb{R} $$
- Como a imagem é igual ao contradomínio ($\mathbb{R}$), a função é sobrejetora.
- Como nenhum valor de saída se repete entre os dois ramos (o primeiro vai até 3, o segundo começa acima de 3) e cada ramo é monotônico, a função é injetora.
Portanto, a função é bijetora. Isso elimina as alternativas A e B.
2. Cálculo das Inversas para verificar as alternativas restantes
Agora verificamos as afirmações sobre $f^{-1}(y) = x$, o que é equivalente a resolver $f(x) = y$.
- Alternativa C: Afirma que $f^{-1}(3) = 0$.
- Isso significa que $f(0)$ deve ser igual a 3.
- Utilizando a primeira parte da função ($x \leq 0$):
$$f(0) = 3(0) + 3 = 3$$ - A afirmação está correta.
- Alternativa D: Afirma que $f^{-1}(0) = 1$.
- Testando $x = 1$ (usando a segunda parte, pois $1 > 0$):
$$f(1) = 1^2 + 4(1) + 3 = 8$$ - Como $f(1) \neq 0$, esta alternativa está incorreta.
- Alternativa E: Afirma que $f^{-1}(0) = -2$.
- Testando $x = -2$ (usando a primeira parte, pois $-2 \leq 0$):
$$f(-2) = 3(-2) + 3 = -6 + 3 = -3$$ - Como $f(-2) \neq 0$, esta alternativa está incorreta.
(Nota: Para encontrar $f^{-1}(0)$ corretamente, resolvemos $3x+3=0 \Rightarrow x=-1$).
Conclusão
A função é bijetora e satisfaz a condição $f^{-1}(3) = 0$.
Alternativa C