Matemática Múltipla Escolha

Seja $f: ext{IR} ightarrow ext{IR}$, definida $f(x) = egin{cases} 3x + 3, x ext{ se } x ext{ menor ou igual a } 0; \ x^2 + 4x + 3, x > 0. ext{ Podemos afirmar que:}

Seja $f: ext{IR}
ightarrow ext{IR}$, definida $f(x) = egin{cases} 3x + 3, x ext{ se } x ext{ menor ou igual a } 0; \ x^2 + 4x + 3, x > 0. ext{ Podemos afirmar que:}

  1. f é injetora mas não é sobrejetora.
  2. f é sobrejetora mas não é injetora.
  3. f é injetora e f⁻¹(3)=0.
  4. f é bijetora e f⁻¹(0)=1.
  5. f é injetora e f⁻¹(0)=-2.

Resolução completa

Explicação passo a passo

C
Alternativa C

Alternativa C

Resumo:
A função é bijetora porque sua imagem cobre todo o conjunto dos números reais (\mathbb{R}) sem sobreposições de valores. Além disso, verificamos que f(0) = 3, o que implica que a imagem inversa de 3 é 0.

Análise Detalhada

1. Análise da Bijetividade (Injetiva e Sobrejetiva)

Para determinar se a função é bijetora, precisamos analisar as imagens geradas por cada um dos seus dois ramos (partes):

  • Primeiro Ramo (x \leq 0):
  • Função: f(x) = 3x + 3
  • É uma função linear crescente.
  • Valor no limite superior (x=0): f(0) = 3(0) + 3 = 3.
  • Quando x \to -\infty, f(x) \to -\infty.
  • Imagem deste ramo: (-\infty, 3].
  • Segundo Ramo (x > 0):
  • Função: f(x) = x^2 + 4x + 3
  • É uma parábola com vértice em x = -2. Como analisamos apenas x > 0, estamos estudando a parte crescente da parábola.
  • Limite inferior (x \to 0): $0^2 + 4(0) + 3 = 3$.
  • Quando x \to +\infty, f(x) \to +\infty.
  • Imagem deste ramo: (3, +\infty).

Conclusão sobre a Função:
A imagem total da função é a união das imagens dos dois ramos:
\text{Im}(f) = (-\infty, 3] \cup (3, +\infty) = \mathbb{R}

  • Como a imagem é igual ao contradomínio (\mathbb{R}), a função é sobrejetora.
  • Como nenhum valor de saída se repete entre os dois ramos (o primeiro vai até 3, o segundo começa acima de 3) e cada ramo é monotônico, a função é injetora.

Portanto, a função é bijetora. Isso elimina as alternativas A e B.

2. Cálculo das Inversas para verificar as alternativas restantes

Agora verificamos as afirmações sobre f^{-1}(y) = x, o que é equivalente a resolver f(x) = y.

  • Alternativa C: Afirma que f^{-1}(3) = 0.
  • Isso significa que f(0) deve ser igual a 3.
  • Utilizando a primeira parte da função (x \leq 0):
    f(0) = 3(0) + 3 = 3
  • A afirmação está correta.
  • Alternativa D: Afirma que f^{-1}(0) = 1.
  • Testando x = 1 (usando a segunda parte, pois $1 > 0$):
    f(1) = 1^2 + 4(1) + 3 = 8
  • Como f(1) \neq 0, esta alternativa está incorreta.
  • Alternativa E: Afirma que f^{-1}(0) = -2.
  • Testando x = -2 (usando a primeira parte, pois -2 \leq 0):
    f(-2) = 3(-2) + 3 = -6 + 3 = -3
  • Como f(-2) \neq 0, esta alternativa está incorreta.
    (Nota: Para encontrar f^{-1}(0) corretamente, resolvemos $3x+3=0 \Rightarrow x=-1$).

Conclusão

A função é bijetora e satisfaz a condição f^{-1}(3) = 0.

Alternativa C

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