Alternativa C
Resumo:
A função é bijetora porque sua imagem cobre todo o conjunto dos números reais (\mathbb{R}) sem sobreposições de valores. Além disso, verificamos que f(0) = 3, o que implica que a imagem inversa de 3 é 0.
Análise Detalhada
1. Análise da Bijetividade (Injetiva e Sobrejetiva)
Para determinar se a função é bijetora, precisamos analisar as imagens geradas por cada um dos seus dois ramos (partes):
- Primeiro Ramo (x \leq 0):
- Função: f(x) = 3x + 3
- É uma função linear crescente.
- Valor no limite superior (x=0): f(0) = 3(0) + 3 = 3.
- Quando x \to -\infty, f(x) \to -\infty.
- Imagem deste ramo: (-\infty, 3].
- Segundo Ramo (x > 0):
- Função: f(x) = x^2 + 4x + 3
- É uma parábola com vértice em x = -2. Como analisamos apenas x > 0, estamos estudando a parte crescente da parábola.
- Limite inferior (x \to 0): $0^2 + 4(0) + 3 = 3$.
- Quando x \to +\infty, f(x) \to +\infty.
- Imagem deste ramo: (3, +\infty).
Conclusão sobre a Função:
A imagem total da função é a união das imagens dos dois ramos:
\text{Im}(f) = (-\infty, 3] \cup (3, +\infty) = \mathbb{R}
- Como a imagem é igual ao contradomínio (\mathbb{R}), a função é sobrejetora.
- Como nenhum valor de saída se repete entre os dois ramos (o primeiro vai até 3, o segundo começa acima de 3) e cada ramo é monotônico, a função é injetora.
Portanto, a função é bijetora. Isso elimina as alternativas A e B.
2. Cálculo das Inversas para verificar as alternativas restantes
Agora verificamos as afirmações sobre f^{-1}(y) = x, o que é equivalente a resolver f(x) = y.
- Alternativa C: Afirma que f^{-1}(3) = 0.
- Isso significa que f(0) deve ser igual a 3.
- Utilizando a primeira parte da função (x \leq 0):
f(0) = 3(0) + 3 = 3 - A afirmação está correta.
- Alternativa D: Afirma que f^{-1}(0) = 1.
- Testando x = 1 (usando a segunda parte, pois $1 > 0$):
f(1) = 1^2 + 4(1) + 3 = 8 - Como f(1) \neq 0, esta alternativa está incorreta.
- Alternativa E: Afirma que f^{-1}(0) = -2.
- Testando x = -2 (usando a primeira parte, pois -2 \leq 0):
f(-2) = 3(-2) + 3 = -6 + 3 = -3 - Como f(-2) \neq 0, esta alternativa está incorreta.
(Nota: Para encontrar f^{-1}(0) corretamente, resolvemos $3x+3=0 \Rightarrow x=-1$).
Conclusão
A função é bijetora e satisfaz a condição f^{-1}(3) = 0.
Alternativa C