Seja $f: ext{IR} o ext{IR}$, dada por $f(x) = ext{sen } x$. Considere as seguintes afirmações: A função $f(x)$ é uma função par, isto é, $f(-x) = f(x)$, para todo x real. A função $f(x)$ é periódica de período $2 ext{π}$. A função $f$ é sobrejetora. $f(0) = f( rac{ ext{π}}{3}) = rac{ ext{√3}}{2} e f( rac{ ext{π}}{3}) = 1$.

Alternativa C

Vamos analisar cada uma das afirmações sobre a função f(x) = \text{sen } x definida de \mathbb{R} \to \mathbb{R}.

Análise Detalhada

1. Paridade da Função (Afirmação 1)
Uma função é considerada par se f(-x) = f(x) para todo x.
Para a função seno, a propriedade fundamental é:
\text{sen}(-x) = -\text{sen}(x)
Isso caracteriza uma função ímpar, pois o sinal é alterado.
Portanto, a afirmação 1 é FALSA.

2. Periodicidade (Afirmação 2)
A função seno é uma função cíclica. Isso significa que seus valores se repetem em intervalos regulares. O menor intervalo positivo onde isso acontece é $2\pi$.
Matematicamente:
\text{sen}(x + 2\pi) = \text{sen}(x)
Logo, a função é periódica com período $2\pi$.
A afirmação 2 é VERDADEIRA.

3. Sobrejetividade (Afirmação 3)
Uma função é sobrejetora quando a sua Imagem é igual ao seu Contradomínio.
No enunciado, temos f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}.

• Contradomínio: \mathbb{R} (todos os números reais).
• Imagem: O valor do seno varia apenas entre -1 e $1$, ou seja, Im(f) = [-1, 1].
  Como [-1, 1] \neq \mathbb{R}, a função não atinge todos os números reais.
  A afirmação 3 é FALSA.

4. Valores Específicos (Afirmação 4)
Vamos calcular os valores solicitados na circunferência trigonométrica:

• Para x = 0: \text{sen}(0) = 0.
• Para x = \frac{\pi}{3} (60°): \text{sen}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}.
• Para x = \frac{\pi}{2} (90°): \text{sen}(\frac{\pi}{2}) = 1.
  Todos os cálculos estão corretos.
  A afirmação 4 é VERDADEIRA.

Conclusão

As únicas afirmações corretas são a 2 e a 4.

Portanto, a alternativa correta é a C.