Sejam as funções f(x) = x² - 1 e g(x) = 2x + 2. Podemos dizer que:

Alternativa C - I e III

Para resolver esta questão sobre funções compostas, precisamos calcular as composições indicadas nas afirmativas utilizando as funções dadas:
f(x) = x^2 - 1
g(x) = 2x + 2

A composição de funções f(g(x)) significa substituir o termo x da função externa f pela expressão inteira da função interna g. O processo é o inverso para g(f(x)).

Análise das Afirmativas

Vamos verificar cada cálculo passo a passo:

• Afirmativa I: $f(g(x)) = 4x^2 + 8x + 3$
• Substituímos g(x) dentro de f(x):
• f(g(x)) = (2x + 2)^2 - 1
• Desenvolvemos o quadrado do binômio (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:
• (2x)^2 + 2(2x)(2) + 2^2 - 1
• 4x^2 + 8x + 4 - 1
• 4x^2 + 8x + 3
• Conclusão: A afirmativa está CORRETA.
• Afirmativa II: $g(f(x)) = 2x^2 + 4$
• Substituímos f(x) dentro de g(x):
• g(f(x)) = 2(x^2 - 1) + 2
• Multiplicamos o 2 pelos termos entre parênteses:
• 2x^2 - 2 + 2
• 2x^2
• Conclusão: A afirmativa está INCORRETA (o resultado correto é $2x^2$, não $2x^2 + 4$).
• Afirmativa III: $f(f(x)) = x^4 - 2x^2$
• Substituímos f(x) dentro de si mesma:
• f(f(x)) = (x^2 - 1)^2 - 1
• Desenvolvemos o quadrado:
• (x^2)^2 - 2(x^2)(1) + 1^2 - 1
• x^4 - 2x^2 + 1 - 1
• x^4 - 2x^2
• Conclusão: A afirmativa está CORRETA.
• Afirmativa IV: $g(g(x)) = 2x + 4$
• Substituímos g(x) dentro de g(x):
• g(g(x)) = 2(2x + 2) + 2
• Multiplicamos e somamos:
• 4x + 4 + 2
• 4x + 6
• Conclusão: A afirmativa está INCORRETA (o resultado correto é $4x + 6$).

Conclusão

As únicas afirmativas corretas são a I e a III. Portanto, a alternativa que indica essas duas assertivas é a correta.

Assumindo a ordem padrão de múltipla escolha (A, B, C, D, E):
(A) II e IV
(B) III e IV
(C) I e III
(D) I e IV
(E) II e III