Um fazendeiro deseja fazer um galinheiro retangular encostado em um muro com um orçamento de R$ 800,00. O material da cerca do lado paralelo ao muro custa R$ 5,00 por metro e o material dos outros dois lados da cerca custa R$ 10,00 por metro. Quais são as dimensões dos lados desse cercado para que ele possua a maior área possível com o custo de R$ 800,00?

Alternativa D

Este é um problema clássico de otimização de funções quadráticas com uma restrição de custo. O objetivo é maximizar a área de um retângulo onde apenas três lados precisam ser cercados, pois o quarto está apoiado em um muro existente.

Para resolver, definimos as variáveis das dimensões e montamos a equação que representa o custo total disponível.

Análise Matemática

1. Definição das Variáveis:

• Seja x o comprimento do lado paralelo ao muro.
• Seja y o comprimento dos dois lados perpendiculares ao muro.

1. Equação de Custo (Restrição):

• Custo do lado paralelo: R\$\, 5,00 \times x
• Custo dos lados perpendiculares: R\$\, 10,00 \times 2y
• Orçamento total: R\$\, 800,00
• 5x + 20y = 800

1. Expressão da Área:

• A área do retângulo é dada por A = x \cdot y.
• Isolando x na equação de custo: $5x = 800 - 20y \Rightarrow x = 160 - 4y$.
• Substituindo na fórmula da área:
  A(y) = (160 - 4y) \cdot y
  A(y) = 160y - 4y^2

1. Cálculo do Vértice (Máximo):

• Para encontrar a área máxima, calculamos a ordenada do vértice da parábola (y_v):
  y_v = \frac{-b}{2a}
• Onde a = -4 e b = 160:
  y_v = \frac{-160}{2 \cdot (-4)} = \frac{-160}{-8} = 20\,\text{m}
• Agora, encontramos x:
  x = 160 - 4(20) = 160 - 80 = 80\,\text{m}

1. Verificação das Dimensões:

• Lado paralelo ao muro: 80m
• Lados perpendiculares ao muro: 20m cada
• Custos: (5 \times 80) + (10 \times 20 \times 2) = 400 + 400 = 800. (Confere)

As dimensões resultantes são 80m, 20m e 20m, o que corresponde exatamente à opção D.

Conclusão

A configuração que maximiza a área dentro do orçamento especificado resulta em um lado paralelo de 80 metros e dois lados laterais de 20 metros cada. Portanto, a alternativa correta é a D.