Uma sentença logicamente equivalente a "Se Carlos é matemático, então ele é professor":

Question

Uma sentença logicamente equivalente a "Se Carlos é matemático, então ele é professor": A) Se Carlos não é professor, então ele não é matemático. B) Se Carlos é matemático, então ele não é professor. C) Se Carlos não é matemático, então ele é professor. D) Se Carlos é professor, então ele não é matemático. E) Carlos é matemático e professor.

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Alternativa A Se Carlos não é professor, então ele não é matemático. Introdução à Lógica Proposicional A questão apresenta uma sentença condicional (implicação): "Se Carlos é matemático, então ele é professor". Em lógica formal, essa estrutura é representada como $P ightarrow Q$, onde: $P$: Carlos é matemático (antecedente) $Q$: Ele é professor (consequente) Para encontrar uma sentença logicamente equivalente , precisamos aplicar as regras de transformação válida para condicionais. Desenvolvimento Teórico Existem duas formas principais de expressar a mesma lógica de uma condicional $P ightarrow Q$: 1. Contrapositiva : Inverter a ordem e negar ambos os termos. Representada por $
eg Q ightarrow 
eg P$. Significado: "Se não acontece a consequência, então não aconteceu o antecedente". 2. Disjunção Inclusiva : Negar o antecedente e usar "ou" com o consequente. Representada por $
eg P \lor Q$. Significado: "Ou Carlos não é matemático, ou ele é professor". A regra fundamental da equivalência lógica diz que uma condicional é sempre verdadeira se e somente se sua contrapositiva também for verdadeira. Análise das Alternativas Vamos verificar qual opção corresponde à contrapositiva ($
eg Q ightarrow 
eg P$): | Alternativa | Tradução Lógica | Equivalência? | | : | : | : | | A | Se não $Q$, então não $P$ ($
eg Q ightarrow 
eg P$) | SIM (Contrapositiva) | | B | Se $P$, então não $Q$ ($P ightarrow 
eg Q$) | Não | | C | Se não $P$, então $Q$ ($
eg P ightarrow Q$) | Não | | D | Se $Q$, então não $P$ ($Q ightarrow 
eg P$) | Não | | E | $P$ e $Q$ ($P \land Q$) | Não | A alternativa A nega o consequente ("não é professor") e conclui a negação do antecedente ("não é matemático"), mantendo a validade lógica da frase original. As outras alternativas alteram a relação de causa e efeito ou negam partes da frase sem manter a equivalência. Conclusão A sentença "Se Carlos não é professor, então ele não é matemático" é a contrapositiva da frase original, sendo, portanto, logicamente equivalente a ela.

Explicação passo a passo

Introdução à Lógica Proposicional

Desenvolvimento Teórico

Análise das Alternativas

Conclusão

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Alternativa	Tradução Lógica	Equivalência?
A	Se não $Q$ , então não $P$ ( $\neg Q \rightarrow \neg P$ )	SIM (Contrapositiva)
B	Se $P$ , então não $Q$ ( $P \rightarrow \neg Q$ )	Não
C	Se não $P$ , então $Q$ ( $\neg P \rightarrow Q$ )	Não
D	Se $Q$ , então não $P$ ( $Q \rightarrow \neg P$ )	Não
E	$P$ e $Q$ ( $P \land Q$ )	Não