Resumo da Resposta
A questão exige a aplicação de modelagem matemática para descrever o crescimento populacional de leveduras, utilizando funções exponenciais e logísticas. A resolução envolve estimar a capacidade de suporte (K) a partir da estabilização dos dados e calcular a taxa de crescimento intrínseca (r) nos estágios iniciais para construir as equações preditivas.
Análise Detalhada
Esta é uma questão de Cálculo/Diferenciais focada em crescimento populacional. Abaixo, detalho o passo a passo para resolver cada item solicitado no enunciado.
1. Estimativa da Capacidade de Suporte (Item a)
A capacidade de suporte (K) representa o limite máximo que o ambiente pode sustentar. Observando a tabela:
- Os valores crescem rapidamente até cerca de 10 horas.
- Após isso, o aumento diminui significativamente (de 509 para 597, depois 640, 664, 672).
- O valor parece tender assintoticamente para um número ligeiramente superior a 672.
- Estimativa: K \approx 680 células (ou 700, dependendo da precisão visual do gráfico).
2. Estimativa da Taxa de Crescimento Inicial (Item b)
No início, o crescimento é aproximadamente exponencial. Utilizamos a fórmula N(t) = N_0 e^{rt}.
- Dados iniciais: N_0 = 18 (em t=0) e N(2) = 39 (em t=2).
- Cálculo:
39 = 18 e^{r(2)} \Rightarrow \frac{39}{18} = e^{2r}
\ln(2,166) = 2r \Rightarrow 0,773 = 2r \Rightarrow r \approx 0,386 - Taxa estimada: r \approx 0,38 por hora.
3. Construção dos Modelos (Item c)
Com os parâmetros estimados (N_0=18, r=0,38, K=680), definimos as equações:
Modelo Exponencial:
Descreve o crescimento sem limites.
N(t) = 18 e^{0,38t}
Modelo Logístico:
Descreve o crescimento limitado pela capacidade de suporte.
N(t) = \frac{K}{1 + A e^{-rt}}, \text{ onde } A = \frac{K - N_0}{N_0}
Calculando A:
A = \frac{680 - 18}{18} \approx 36,78
Substituindo na equação:
N(t) = \frac{680}{1 + 36,78 e^{-0,38t}}
4. Comparação dos Modelos (Item d)
- Exponencial: Ajusta bem os primeiros dados (t=0 a t=6), mas falha drasticamente após t=10, pois prevê números infinitos enquanto a população real estagna.
- Logístico: Ajusta-se muito melhor aos dados totais, capturando tanto a fase inicial de aceleração quanto a fase final de desaceleração (estabilização).
5. Estimativa para 7 Horas (Item e)
Utilizamos o modelo logístico ajustado para prever N(7).
N(7) = \frac{680}{1 + 36,78 e^{-0,38 \times 7}}
N(7) = \frac{680}{1 + 36,78 e^{-2,66}}
Sabendo que e^{-2,66} \approx 0,0698:
N(7) = \frac{680}{1 + 36,78(0,0698)} \approx \frac{680}{1 + 2,57} \approx \frac{680}{3,57} \approx 190,5
- Resultado estimado: Cerca de 191 células.
(Nota: O valor observado na tabela mais próximo é 171 em t=6 e 336 em t=8. O valor 191 está coerente com a curva logística antes do ponto de inflexão).
Conclusão
A modelagem logística é superior neste caso porque incorpora o conceito biológico de limitação de recursos, representado pela capacidade de suporte K. Enquanto o modelo exponencial é útil apenas para fases iniciais curtas, o modelo logístico fornece previsões precisas ao longo de todo o ciclo de vida da cultura observada.