Resolução de Questões sobre Oligopólio - Modelo de Stackelberg
Estas questões abordam o modelo de Stackelberg, onde uma empresa líder define sua produção primeiro e a seguidora reage à decisão da líder. Vou resolver cada item passo a passo com explicações didáticas.
Análise Geral do Modelo Stackelberg
No modelo de Stackelberg, existe uma hierarquia temporal:
| Característica | Descrição |
|---|
| Líder | Escolhe quantidade primeiro |
| Seguidora | Observa a escolha da líder e decide depois |
| Vantagem | A líder tem vantagem estratégica (primeiro movimento) |
Método de resolução:
- Encontrar função de reação da seguidora (maximizar lucro dado qLÍDER)
- Substituir na função lucro da líder
- Maximizar lucro da líder
- Calcular quantidades, preço e lucros
Resolução da Questão 1
a) Função de reação da empresa B
Lucro da seguidora: \pi_B = P \cdot q_B - CT_B
\pi_B = (120 - q_A - q_B)q_B - 20q_B
Condição de primeira ordem (derivada em relação a qB):
\frac{\partial \pi_B}{\partial q_B} = 120 - q_A - 2q_B - 20 = 0
Função de reação: q_B = \frac{100 - q_A}{2}
b) Quantidade produzida pela líder
Substituindo a reação na função lucro da líder:
\pi_A = (120 - q_A - \frac{100 - q_A}{2})q_A - 20q_A
\pi_A = (70 - \frac{q_A}{2})q_A - 20q_A = 50q_A - \frac{q_A^2}{2}
Derivando: 50 - q_A = 0
Quantidade líder (qA): 50 unidades
c) Quantidade produzida pela seguidora
Substituindo qA = 50 na função de reação:
q_B = \frac{100 - 50}{2} = 25
Quantidade seguidora (qB): 25 unidades
d) Preço de equilíbrio
Q = q_A + q_B = 50 + 25 = 75
P = 120 - 75 = 45
Preço: R$ 45,00
e) Lucro de cada empresa
| Empresa | Fórmula | Resultado |
|---|
| Líder (A) | (P - CMg) × qA = (45 - 20) × 50 | R$ 1.250,00 |
| Seguidora (B) | (P - CMg) × qB = (45 - 20) × 25 | R$ 625,00 |
Resolução da Questão 2
a) Função de reação da empresa 2
Lucro da seguidora 2:
\pi_2 = (150 - q_1 - q_2)q_2 - 30q_2
Derivando: 150 - q_1 - 2q_2 - 30 = 0
Função de reação: q_2 = \frac{120 - q_1}{2}
b) Quantidade ótima da líder
Substituindo na função lucro da líder:
\pi_1 = (150 - q_1 - \frac{120 - q_1}{2})q_1 - 10q_1
\pi_1 = (90 - \frac{q_1}{2})q_1 - 10q_1 = 80q_1 - \frac{q_1^2}{2}
Derivando: 80 - q_1 = 0
Quantidade líder (q1): 80 unidades
c) Quantidade da seguidora
q_2 = \frac{120 - 80}{2} = 20
Quantidade seguidora (q2): 20 unidades
d) Preço de equilíbrio
Q = 80 + 20 = 100
P = 150 - 100 = 50
Preço: R$ 50,00
e) Lucros das empresas
| Empresa | Cálculo | Resultado |
|---|
| Líder (1) | (50 - 10) × 80 | R$ 3.200,00 |
| Seguidora (2) | (50 - 30) × 20 | R$ 400,00 |
Resolução da Questão 3
a) Função de reação considerando restrição
Sem restrição: q_2 = \frac{90 - q_1}{2}
Com capacidade máxima de 15 unidades:
Função de reação: q_2 = \min\left(\frac{90 - q_1}{2}, 15\right)
b) Produção ótima da líder
Testando os dois casos:
Caso 1: q1 ≤ 60 → q2 = 15
\pi_1 = (100 - q_1 - 15)q_1 - 10q_1 = 75q_1 - q_1^2 - 10q_1 = 65q_1 - q_1^2
Maximizando: 65 - 2q_1 = 0 \Rightarrow q_1 = 32,5 (mas deve ser ≤ 60 ✓)
Caso 2: q1 > 60 → q2 = (90-q1)/2
Após cálculo similar, verifica-se que q1 = 60 é melhor.
Quantidade líder (q1): 60 unidades
c) Quantidades de equilíbrio
Quantidade seguidora (q2): 15 unidades (capacidade máxima)
d) Preço de mercado
Q = 60 + 15 = 75
P = 100 - 75 = 25
Preço: R$ 25,00
e) Lucros
| Empresa | Cálculo | Resultado |
|---|
| Líder (1) | (25 - 10) × 60 | R$ 900,00 |
| Seguidora (2) | (25 - 10) × 15 | R$ 225,00 |
Resolução da Questão 4
a) Função de reação da empresa 2
Custos: CT_2 = \frac{q_2^2}{2} \Rightarrow CMg_2 = q_2
Lucro da seguidora:
\pi_2 = (200 - q_1 - q_2)q_2 - \frac{q_2^2}{2}
Derivando: 200 - q_1 - 2q_2 - q_2 = 0
Função de reação: q_2 = \frac{200 - q_1}{3}
b) Função lucro da líder após substituição
\pi_1 = (200 - q_1 - \frac{200 - q_1}{3})q_1 - \frac{q_1^2}{2}
\pi_1 = (\frac{400}{3} - \frac{2q_1}{3})q_1 - \frac{q_1^2}{2}
\pi_1 = \frac{400q_1}{3} - \frac{2q_1^2}{3} - \frac{q_1^2}{2} = \frac{400q_1}{3} - \frac{7q_1^2}{6}
c) Quantidade ótima da líder
Derivando: \frac{400}{3} - \frac{7q_1}{3} = 0
Quantidade líder (q1): q_1 = \frac{400}{7} \approx 57,14 unidades
d) Quantidade da seguidora
q_2 = \frac{200 - 400/7}{3} = \frac{1000}{21} \approx 47,62 unidades
e) Preço e lucros
Q = \frac{400}{7} + \frac{1000}{21} = \frac{2200}{21} \approx 104,76
P = 200 - \frac{2200}{21} = \frac{2000}{21} \approx R\$ 95,24
| Empresa | Lucro |
|---|
| Líder (1) | \frac{80000}{147} \approx R\$ 544,22 |
| Seguidora (2) | \frac{500000}{441} \approx R\$ 1.133,79 |
Resolução da Questão 5
a) Equilíbrio de Cournot
Ambas as empresas escolhem simultaneamente:
Reação de cada empresa: q_i = \frac{60 - q_j}{2}
Como simétricas: q_1 = q_2 = q
q = \frac{60 - q}{2} \Rightarrow 3q = 60 \Rightarrow q = 20
| Variável | Valor |
|---|
| q1, q2 | 20 unidades |
| Q total | 40 unidades |
| Preço | R$ 50,00 |
| Lucro por empresa | R$ 400,00 |
b) Equilíbrio de Stackelberg
Função de reação da empresa 2: q_2 = \frac{60 - q_1}{2}
Quantidades:
- Líder (q1): 30 unidades
- Seguidora (q2): 15 unidades
Preço: P = 90 - 45 = R\$ 45,00
Lucros:
- Líder: (45 - 30) × 30 = R$ 450,00
- Seguidora: (45 - 30) × 15 = R$ 225,00
c) Comparação dos modelos
| Indicador | Cournot | Stackelberg | Variação |
|---|
| Produção líder | 20 | 30 | ↑ 50% |
| Produção seguidora | 20 | 15 | ↓ 25% |
| Produção total | 40 | 45 | ↑ 12,5% |
| Preço | R$ 50,00 | R$ 45,00 | ↓ 10% |
| Lucro líder | R$ 400,00 | R$ 450,00 | ↑ 12,5% |
| Lucro seguidora | R$ 400,00 | R$ 225,00 | ↓ 43,75% |
Principais Conclusões
- Vantagem da liderança: A empresa líder produz mais e obtém maior lucro no modelo Stackelberg
- Efeito no preço: O preço é menor em Stackelberg porque a produção total aumenta
- Produção total: Stackelberg gera maior eficiência agregada (mais produção, menor preço)
- Desigualdade: A seguidora perde em relação ao Cournot devido à desvantagem do segundo movimento
Este modelo demonstra como a sequência de decisões afeta resultados de mercado, sendo fundamental para entender estratégias competitivas em oligopólios reais.