Resolução da Questão de Resistência dos Materiais
Dados do Problema
| Grandeza | Valor | Unidade |
|---|
| Diâmetro da viga (d) | 100 | mm |
| Raio da viga (r) | 50 | mm |
| Momento fletor (M) | 8 | kN·m |
| Força normal (N) | 300 | kN (compressão) |
Conceitos Fundamentais
Para determinar as tensões normais em uma seção submetida a força normal e momento fletor, utilizamos o princípio da superposição:
\sigma = \sigma_N \pm \sigma_M
Onde:
- \sigma_N = \frac{N}{A} → tensão uniforme devido à força normal
- \sigma_M = \frac{M \cdot c}{I} → tensão linear devido ao momento fletor
Cálculos Passo a Passo
1. Área da Seção Transversal
Para seção circular:
A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0,05)^2 = 0,007854 \text{ m}^2
2. Momento de Inércia da Seção Circular
I = \frac{\pi \cdot r^4}{4} = \frac{\pi \cdot (0,05)^4}{4} = 4,909 \times 10^{-6} \text{ m}^4
3. Tensão devida à Força Normal (Uniforme)
Como a força é de compressão, gera tensão negativa:
\sigma_N = \frac{N}{A} = \frac{300 \times 10^3}{0,007854} = 38,197 \text{ MPa (compressão)}
4. Tensão devida ao Momento Fletor (Linear)
No ponto mais afastado do eixo neutro (c = r = 0,05 m):
\sigma_M = \frac{M \cdot c}{I} = \frac{8 \times 10^3 \times 0,05}{4,909 \times 10^{-6}} = 81,487 \text{ MPa}
5. Tensões Combinadas Máximas
| Localização na Seção | Tensão Normal (\sigma_N) | Tensão Fletora (\sigma_M) | Tensão Resultante |
|---|
| Face comprimida | -38,197 MPa | -81,487 MPa | -119,68 MPa |
| Face tracionada | -38,197 MPa | +81,487 MPa | +43,29 MPa |
## Análise Final
As tensões normais atuantes na seção são:
- Tensão máxima de compressão: -119,68 \text{ MPa}
- Tensão máxima de tração: +43,29 \text{ MPa}
Observações Importantes
- Sinal das tensões: Por convenção, compressão é negativa e tração é positiva
- Superposição: A força normal comprime toda a seção uniformemente, enquanto o momento fletor cria uma distribuição linear (comprime um lado e traciona o outro)
- Resultado: Como a força de compressão axial é grande, mesmo no lado que seria tracionado pelo momento fletor ainda há tração resultante (43,29 MPa)
Conclusão
As máximas tensões normais atuantes na seção transversal são:
- Compressão máxima: 119,68 MPa
- Tração máxima: 43,29 MPa