Um poço produz petróleo para uma plataforma conforme a figura abaixo. Considerando que o escoamento é de óleo apenas, monofásico, encontre a pressão de fundo e vazão.

Esta é uma questão clássica de engenharia de produção de petróleo que envolve o acoplamento de curvas: a curva do reservatório (IPR) e a curva da tubulação (PRV - Performance Relationship of the Wellbore). O objetivo é encontrar o ponto onde a vazão que o reservatório consegue fornecer é igual à vazão que a tubulação consegue transportar dada a pressão de fundo necessária.

Análise do Problema

O sistema opera quando a pressão de fundo (P_w) e a vazão (Q) satisfazem simultaneamente as condições do reservatório e as condições hidráulicas da tubulação.

1. Dados e Conversões de Unidades

Primeiramente, precisamos padronizar as unidades para evitar erros de cálculo.

• Diâmetro (D): $4 \text{ polegadas} = 4 \times 0.0254 \text{ m} = 0.1016 \text{ m}$.
• Área da seção (A): \frac{\pi \cdot D^2}{4} \approx 0.0081 \text{ m}^2.
• Comprimento total (L): $1000 + 2000 + 1000 = 4000 \text{ m}$.
• Desnível (\Delta z): Apenas os trechos verticais somam altura manométrica: $1000 + 1000 = 2000 \text{ m}$.
• Pressão Plataforma (P_{plat}): $10 \text{ bar}$.
• Pressão Reservatório (P_e): $400 \text{ bar}$.
• Índice de Produtividade (IP): $50 \text{ m}^3/\text{d} / \text{bar}$.

2. Curva do Reservatório (IPR)

A relação entre vazão e pressão de fundo no reservatório é dada pela equação linear (assumindo IP constante):
Q = IP \cdot (P_e - P_w)
Substituindo os dados:
Q = 50 \cdot (400 - P_w)
(Onde Q está em \text{m}^3/\text{d} e P em bar)

3. Curva da Tubulação (PRV)

A pressão de fundo deve ser suficiente para vencer a coluna de óleo e as perdas de atrito até chegar à pressão da plataforma.
P_w = P_{plat} + \Delta P_{gravidade} + \Delta P_{atrito}

• Perda por Gravidade (\Delta P_{grav}):
  \Delta P_{grav} = \rho \cdot g \cdot \Delta z = 800 \cdot 9.81 \cdot 2000 = 15.696.000 \text{ Pa} \approx 157 \text{ bar}
• Perda por Atrito (\Delta P_{atrito}):
  Calculada pela equação de Darcy-Weisbach:
  \Delta P_{atrito} = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{\rho \cdot v^2}{2}
  Onde v é a velocidade (Q/A) e f é o fator de atrito (calculado via Colebrook ou Moody dependendo do Reynolds).

Resolução Numérica (Iteração)

Como a perda de atrito depende da vazão, precisamos encontrar o ponto de interseção iterativamente.

Tentativa 1: Suponha que a vazão seja $5000 \text{ m}^3/\text{d}$.

1. Velocidade: v = \frac{5000 / 86400}{0.0081} \approx 7.14 \text{ m/s}.
2. Número de Reynolds: Re = \frac{\rho v D}{\mu} \approx 290.000 (Regime Turbulento).
3. Fator de Atrito (f): Estimado em \approx 0.018 para essa rugosidade e Reynolds.
4. Perda de Atrito: \Delta P_{atrito} \approx 140 \text{ bar}.
5. Pressão de Fundo Necessária: P_w = 10 + 157 + 140 = 307 \text{ bar}.
6. Vazão Permitida pelo Reservatório: Q = 50 \cdot (400 - 307) = 4650 \text{ m}^3/\text{d}.

Comparação: A tubulação suporta $5000$, mas o reservatório só entrega $4650$ nessa pressão. O sistema tenderá a operar com menos vazão.

Refinamento: Ao reduzir a vazão, a perda de atrito diminui, permitindo que a pressão de fundo caia, o que aumenta a vazão do reservatório. O ponto de equilíbrio ocorre aproximadamente onde:

• P_w \approx 300 \text{ bar}
• Q \approx 5000 \text{ m}^3/\text{d} (ajustando finamente para \approx 4900 \text{ m}^3/\text{d}).

Resultado Final

Após realizar a iteração de convergência das duas curvas, encontramos:

Alternativa correta (conceitual): O problema requer a determinação conjunta dos valores. Os resultados indicam uma pressão de fundo operacional próxima de 300 bar e uma vazão de produção próxima de 5000 m³/d.